¿Es la serie de Fourier una "inversa" de la serie de Taylor?

Question

He entendido la serie de Taylor como la representación de una función "trascendental", utilizando funciones de potencia con coeficientes representados por derivadas apropiadas. (O tal vez es la serie de MacLauren, donde $\cos x= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...$)

He entendido la serie de Fourier como la representación de funciones lineales periódicas utilizando coeficientes integrales multiplicados por funciones trascendentales.

¿Es correcta mi comprensión en uno o ambos casos? Y si uno consiste en derivadas y el otro en integrales, ¿significa eso que las series de Fourier son el opuesto (o "inverso") de las series de Taylor?

Answer 1

Solo una breve comparación:

Las series de Fourier son:

• Globales por naturaleza. Las series de Fourier se calculan utilizando una integral sobre un periodo (representan la función completa sobre un periodo incluso si es discontinua, de trozos continuos, etc... sin tener en cuenta el fenómeno de Gibbs)
• Las series de Fourier descomponen una función mediante su representación como una combinación lineal de funciones base (seno y coseno). Estas funciones base son ortogonales.
• Las series de Fourier son invertibles. Es decir, una vez que tienes tus coeficientes de Fourier puedes reconstruir la función completa a partir de los coeficientes (hasta cierto punto, es decir, el fenómeno de Gibbs).

Por otro lado:

Las series de Taylor son:

• Locales por naturaleza. Las series de Taylor se calculan utilizando un número infinito de derivadas en un punto (por lo tanto, no pueden representar funciones que sean discontinuas, de trozos continuos, etc).
• Las series de Taylor descomponen una función mediante su representación como una combinación fija de derivadas. Estas funciones base no son ortogonales.
• Las series de Taylor son invertibles solo en el vecindario de un punto. No puedes, en general, recuperar la función completa a partir de una serie de Taylor.

Answer 2

Su comprensión es incorrecta en ambos casos.

Una serie de Taylor es capaz de representar una función "arbitraria" $f$ en el entorno de un punto dado $a$ en el dominio de $f$ como una serie de potencias: $$f(x)=\sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k\ ,$$ es decir, en forma de un "polinomio infinito". Ni la serie ni sus sumas parciales finitas son "funciones lineales". Los coeficientes $c_k$ de esta serie de potencias están conectados a la función representada $f$ por la fórmula $c_k=f^{(k)}(a)/k!\ $. Así que vemos aquí los valores $f^{(k)}(a)$ entrando de manera lineal, pero las derivadas $f^{(k)}$ como funciones no aparecen en la representación.

Una serie de Fourier es capaz de representar una función periódica "arbitraria" $f$ de periodo $2\pi$ como una "combinación lineal infinita" de las funciones periódicas básicas $t\mapsto \sin(k t)$, $t\mapsto \cos(k t)$; por lo que tiene la forma $$f(t)={a_0\over 2}+\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))\ .$$ Los coeficientes $a_k$, $b_k$ en esta representación están conectados a la función dada $f$ a través de ciertas integrales (que no voy a escribir aquí).

De hecho, hay una cierta conexión entre estos dos paradigmas. Funciona en el ámbito de funciones de una variable compleja $z$, pero no se trata de que la misma función $f$ de una variable real $x$ o $t$ sea representada con más o menos los mismos coeficientes $c_k$, $a_k$, $b_k primero como una serie de Taylor y luego como una serie de Fourier.

Answer 3

Tanto las series de Fourier como las series de Taylor son descomposiciones de una función, la diferencia es que las series de Taylor son inherentemente locales, mientras que las series de Fourier son inherentemente globales.

Puedes encontrar más información aquí:
Conexión entre la transformada de Fourier y las series de Taylor