Coset de W % con $v$es un subespacio de $V$iff $v \in W$

Question

Me gustaría si alguien pudiera mirar por encima de mi prueba. Se siente extraño para mí.

Deje $W$ ser un subespacio de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$. Demostrar que $v + W = \{v + w \mid w \in W\}$ es un subespacio de $V$ si y sólo si $v \in W$.

Prueba: ($\Rightarrow$) Supongamos $v + W$ es un subespacio de $V$. Tenga en cuenta que$v = v + 0_W \in v + W$, y como resultado $(-1)v = -v \in v + W$ $v + W$ es un subespacio. Por lo tanto, $-v = v + w$ algunos $w \in W$. La solución para $w$, obtenemos $w = -2v$ y desde $W$ es un subespacio $(\frac{-1}{2})w = (\frac{-1}{2})(-2v) = v \in W$ como se desee.

($\Leftarrow$) Supongamos $v \in W$. Como $W$ es un subespacio, $-v \in W$ y, por tanto,$0 = v + (-v) \in v + W$. Si $x, y \in v + W$ $x = v + w$ $y = v + w'$ algunos $w,w' \in W$. A continuación, $x + y = (v + w) + (v + w') = v + (v + w + w') \in v + W$ $v,w,w'\in W$ $W$ es un subespacio. Además, tenga en cuenta que $cx = c(v + w) = cv + cw = v + (cv + cw - v) \in v + W$ $v,w \in W$ $W$ es un subespacio. Por lo tanto, $v + W$ es un subespacio de $V$, ya que contiene las $0$ elemento y es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar. $_\Box$

Agradecería cualquier comentario. Gracias.

Answer 1

La argumentación mediante coset propiedades podría ser más sencillo. Para $\Longrightarrow$, me gustaría escribir simplemente que si $v+W$ es un subespacio que contiene a $0$ no $0+W$, por lo tanto $v \in v+W=0+W=W$. Para $\Longleftarrow$ similarmente: $v \in W$ implica $−v \in W$ implica $0 \in v+W$ implica $v+W=0+W=W$. De lo contrario, la prueba está bien, excepto que se utiliza el supuesto injustificado que $2$ es invertible en el campo de tierra.

(Publicado originalmente como un comentario por Hagen von Eitzen.)