Para un grupo $G$ , su FC-Center $FC(G)$ es el subgrupo formado por los elementos de $G$ que tienen una clase de conjugación finita (en $G$ ).
Dejemos que $G$ sea un grupo finitamente generado. ¿Es $FC(G)$ ¿también se genera necesariamente de forma finita?
En caso de que la respuesta sea negativa, ¿qué pasa si asumimos además que $G$ se presenta de forma finita?
El ejemplo que di en mi respuesta a Centro de un grupo generado finitamente es un grupo finitamente generado en el que el centro no está finitamente generado. De hecho $Z(G) = {\rm FC}(G)$ en ese ejemplo, así que la respuesta a tu primera pregunta es no.
En un comentario, Arturo Magidin dio una referencia para un ejemplo de un grupo finitamente presentado en el que $Z(G)$ no está generada finitamente. Habría que ver el ejemplo y comprobar si también tiene ${\rm FC}(G)$ no está generada finitamente. Quizás $Z(G)={\rm FC}(G)$ en ese ejemplo también, ¡pero no lo sé!
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