Caballeros y bribones: ¿Quiénes son B y C? (tarea 26 de "¿Cuál es el nombre de este libro?")

Question

Tengo el siguiente número 26 de ¿Cuál es el nombre de este libro? de R. Smullyan :

Hay una gran variedad de rompecabezas sobre una isla en la que ciertas los habitantes llamados "caballeros" siempre decir la verdad, y otros llamados Los "bribones" siempre mienten. Se supone que que cada habitante de la isla es un caballero o un bribón. Yo comenzar con un conocido rompecabezas de este y luego seguirlo con un variedad de rompecabezas propios.

De acuerdo con este viejo problema, tres de los habitantes - A, B y C - estaban de pie juntos en un jardín. A un desconocido pasó por aquí y preguntó a A, "¿Son eres un caballero o un bribón?" Una respuesta, sino más bien indistintamente, así que el un extraño no pudo entender lo que él dijo. El desconocido que preguntó a B, "¿Qué ¿Dijo A?" B respondió, "A dijo que él es un bribón". En este punto, el tercer El hombre, C, dijo, "No creas a B; él es mentir!" La pregunta es, ¿qué son B y C?

Supuse que las tablas de la verdad pueden ser usadas, y compuse lo siguiente:

   |   |   |      F1      |   F2   |    G       
===|===|===|==============|========|=========
 A | B | C | B ↔ (A ↔ ¬A) | C ↔ ¬B | F1 ^ F2 
===|===|===|==============|========|=========
 1 | 1 | 1 |      0       |   0    |    0
 1 | 1 | 0 |      0       |   1    |    0
 1 | 0 | 1 |      1       |   1    |    1
 1 | 0 | 0 |      1       |   0    |    0
 0 | 1 | 1 |      0       |   0    |    0
 0 | 1 | 0 |      0       |   1    |    0
 0 | 0 | 1 |      1       |   1    |    1
 0 | 0 | 0 |      1       |   0    |    0

Siempre que sea así:

1. Usamos $A$ cuando A es un caballero, y $ \neg A$ cuando A es un bribón.
2. $F1$ es lo que dijo B ( $A \leftrightarrow \neg A$ ), i. e. B dijo que A dijo que era un bribón. Por lo tanto, B está diciendo la verdad si y sólo si es un caballero ( $B$ ).
3. $F2$ significa que C es un caballero si y sólo si dice la verdad, es decir. B es un bribón ( $ \neg B$ ).
4. $G$ nos permite seleccionar sólo aquellos reclamaciones entre $F1$ y $F2$ que son verdaderos.

¿puedo decir con seguridad que sólo tenemos dos casos, cuando $G$ es cierto y se pueden sacar las siguientes conclusiones:

1. B es un bribón, porque hay $0$ s (falso) en las filas correspondientes.
2. C es un caballero, porque B está diciendo mentiras, y hay $1$ s (verdadero) en las filas correspondientes.
3. No podemos decir qué es A exactamente, porque no pudimos entender lo que dijo, y hay dos casos en la tabla con $0$ y $1$ en las filas apropiadas, donde $G$ es cierto.

Por favor, dígame si mis cálculos y la tabla de la verdad son correctos, no sólo la conclusión. La mejor respuesta es una que explique lo que me falta en mi tabla de la verdad, o que contenga una correcta en lugar de la mía, siendo supuestamente errónea. Estoy tratando de averiguar cómo se pueden utilizar, y supongo que este tema es bastante simple de jugar, después de todo tienes el mismo razonamiento en tu mente.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una tabla de verdad es realmente la herramienta equivocada para esto; y tu tabla contiene errores. Por ejemplo, afirmas que A v B v C es siempre verdadera, ¡incluso en el caso de que A, B y C sean todas falsas! Las tablas de verdad (cuando se rellenan correctamente) son útiles en algunas situaciones, pero el enfoque adecuado para este problema es tomar una ruta deductiva más directa.

En primer lugar, adoptamos la regla de que los caballeros siempre dicen afirmaciones verdaderas, y los truhanes nunca lo hacen, y todo el mundo es un caballero o un truhán (y no ambos, a menos que nunca hablen).

Bajo estos supuestos, nadie puede decir "soy un bribón": un caballero no puede decirlo, porque no sería una afirmación verdadera; y un bribón no puede decirlo porque sería una afirmación verdadera.

Por lo tanto, cuando B afirma "A dijo 'soy un bribón'", entonces es inmediatamente el caso de que B está afirmando una falsedad, y por lo tanto hemos demostrado que B es un bribón.

Como C afirma una verdad (es decir, que B ha afirmado una falsedad), C no puede ser un bribón; por lo tanto, hemos demostrado que C es un caballero.

Eso es mucho más sencillo y claro que una tabla lógica... ¡en mi humilde opinión!

Answer 2

Para aprender a utilizar las tablas de verdad, y la lógica formal en general, para resolver los rompecabezas de Smullyan sobre Caballeros y Cuchillos puedes leer el propio "Laberintos Lógicos" de Smullyan, especialmente el capítulo 8: Mentirosos, Verdaderos y lógica proposicional. ( Enlace del editor ; Enlace a Google Books ; Enlace de Amazon .)

Si no me equivoco, creo que también explica un poco estas cosas en "Forever undecided".

Answer 3

El problema es este:

Tenemos tres habitantes A, B y C.

B dijo "A dijo "A es un bribón"", y C dijo "B es un bribón".

Así que la información que tenemos es (si lees el primer párrafo del capítulo al que me referí en mi respuesta anterior y sigues cuidadosamente las instrucciones):

$k_B \leftrightarrow (k_A \leftrightarrow \neg k_A)$

$k_C \leftrightarrow \neg k_B$

Tu tabla de verdad para ambas fórmulas (tal y como está escrita ahora) es correcta, simplemente has utilizado A en lugar de $k_A$ pero eso es todo. Para saber cuáles son las situaciones posibles bajo las dadas, sólo hay que buscar las filas que dan simultáneamente un valor 1 para ambas fórmulas. Estas son las dos filas con un 1 en la última columna de tu tabla.

Lo que la tabla te dice, entonces, es que sólo hay dos situaciones posibles. En ambas, B es un bribón y C es un caballero. Así que eso es cierto sin importar la situación. En cambio, no puedes decir qué es A porque A puede ser un caballero o un bribón.

Answer 4

Estoy de acuerdo con Chas Brown en que la tabla de la verdad requiere más trabajo del necesario, pero se puede utilizar. Lo que hay que hacer es calcular (correctamente) el valor de verdad de las declaraciones para cada posibilidad de asignación de caballero/caballero. Luego ver si el valor de verdad corresponde al tipo para cada persona. Esta es una mala selección de un problema para demostrar el método.

Pero lo intentaremos. La primera columna sería la afirmación de A, que como señala Chas, es "soy un caballero" independientemente de su estatus. La segunda columna sería el valor de verdad de la afirmación de B, que como dice Chas es siempre falsa. La tercera columna sería el valor de verdad de la afirmación de C, que siempre es verdadera. La cuarta columna sería si el valor de verdad de la segunda columna corresponde al tipo de B. Esto es correcto si B es un bribón. Del mismo modo, la quinta columna sería si el valor de verdad de la tercera columna corresponde al tipo de C, lo que es cierto si C es un caballero. La sexta columna sería la suma de la cuarta y la quinta. Las líneas en las que la sexta columna muestra verdadero son posibles asignaciones.

Answer 5

Su tabla es incorrecta en la columna F1 en la que $A \vee B \vee C$ debe evaluarse a 0 cuando los tres son 0 (la línea inferior). Por lo demás, tus cálculos son correctos. Edición: esta columna ha sido eliminada.

La definición de F1 no es la que usted desea. F1 se supone que representa si A dijo la verdad, por lo que sólo debe ser A. Editar: como esta columna se ha eliminado, esto no se aplica.

Edición: esto es incorrecto ya que leí mal la tabla. Véase el párrafo siguiente. La definición de G es el mayor error. G debería ser $(A \leftrightarrow F1) \wedge (B \leftrightarrow F2) \wedge (C \leftrightarrow F3)$ . Este es el meollo de la cuestión. Usted quiere que A haya dicho la verdad si y sólo si A es un caballero, y lo mismo para B y C. G debería ser siempre de esta forma (tal vez más términos si tiene más individuos involucrados) y elegirá las líneas donde el valor de verdad de las declaraciones coincide con el tipo de los individuos.

Añadido: G es correcto. Tu F1 dice "B habló correctamente para su tipo" y F2 dice "C habló correctamente para su tipo". Así que quieres encontrar los casos en los que ambos hablaron correctamente. El hecho de que los 1's aparezcan frente a B=0, C=1 ambas veces dice que B es un bribón y C es un caballero.