Necesito un pequeño consejo para demostrar un teorema de un artículo

Question

Tengo un método iterativo \begin{eqnarray} X_{k+1}=(1+\beta)X_k-\beta X_k A X_k~~~~~ k = 0,1,\ldots \end{eqnarray} con aproximación inicial $X_0 = \beta A^*$ ($\beta$ es un escalar que va de 0 a 1) que converge a la pseudo-inversa de Moore-Penrose $A^+$. $\{X_{k}\}$ son una secuencia de aproximaciones. Debo demostrar que $\{X_{k}\}$ definido por las ecuaciones anteriores satisface $R(X_k)= R(A^*)$ y $N(X_k)=N(A^*)$ para $k\geq 0$. Donde $R(X_k)$, $N(X_k)$ denotan el rango y el espacio nulo de $\{X_{k}\}$. Estoy usando inducción matemática para probar el resultado anterior. Esto es lo que hice.

Trivialmente se cumple para $k = 0$ (ya que para $k = 0$,$X_0 = \beta A^*$). Supongamos que el resultado es cierto para algún k. Sea $y\in N(X _k)$ un vector arbitrario. De la ecuación anterior tenemos $$\begin{eqnarray*} X_{k+1} y = (1+\beta)X_{k}y - \beta X_{k}AX_{k}y = 0 \end{eqnarray*}$$ (ya que $X_{k}y = 0$). Esto nos da $y\in ~N(X_{k+1})$ por lo tanto $N(X_k)\subseteq N(X_{k+1})$ es verdadero. Ahora mi pregunta es cómo se puede demostrar de manera análoga la afirmación $R(X_k)\supseteq R(X_{k+1})$. He intentado mucho pero no logro descubrir cómo probar $R(X_k)\supseteq R(X_{k+1})$. Un pequeño indicio funcionará para mí. Estaré muy agradecido.

Answer 1

Aquí tienes una pista.

Primero abstraigamos un poco las cosas: se considera $Y=(1+\beta)X-\beta XAX$ y el objetivo es demostrar que $R(Y)\subseteq R(X)$.

Entonces, supongamos que $z$ está en $R(Y)$. Esto significa que existe $u$ tal que $z=Yu$, es decir, tal que $z=(1+\beta)Xu-\beta XAXu$ y se quiere encontrar $v$ tal que $z=Xv.

En un momento de inspiración, consideremos $v=\underline{\qquad}-\underline{\qquad}$.