Tengo un método iterativo \begin{eqnarray} X_{k+1}=(1+\beta)X_k-\beta X_k A X_k~~~~~~~~~~~~~~~~~ k = 0,1,\ldots \end{eqnarray} con la aproximación inicial $X_0 = \beta A^*$ ($\beta$ es escalares que se extiende entre 0 a 1)convergen a la de moore-penrose inverso $A^+$. $\{X_{k}\}$ son secuencia de aproximaciones. Tengo que demostrar que $\{X_{k}\}$ definido por las ecuaciones anteriores satisface $R(X_k)= R (^*)$ and $N(X_k)=N(a^*)$ for $k\geq 0$. Where $R(X_k)$, $N(X_k)$ denotes the range and null space of $\{X_{k}\}$ .Estoy usando inducción matemática para demostrar que por encima de resultado.Esto es lo que hice.
Es trivialmente se tiene para $k = 0$ (ya que para $k = 0$,$X_0 = \beta A^*$). Supongamos que el resultado es cierto para algunos k. Deje $y\in N(X _k)$ ser un vector arbitrario. De la ecuación anterior nos han \begin{eqnarray*} X_{k+1} y = (1+\beta)X_{k}y - \beta X_{k}AX_{k}y = 0 \end{eqnarray*} (desde $X_{k}y = 0$). Esto le da a $y\in ~N(X_{k+1})$ $N(X_k)\subseteq N(X_{k+1})$ es cierto. Ahora mi pregunta es cómo la instrucción $R(X_k)\supseteq R(X_{k+1})$ puede ser demostrado de forma análoga. He intentado mucho pero no puede averiguar cómo demostrar a $R(X_k)\supseteq R(X_{k+1})$. Pequeña pista va a trabajar para mí. Yo estaría muy agradecido.
