límite de función creciente convexa

Question

Si$f$ es estrictamente creciente y estrictamente convexo (o$f'>0$ &$f''>0$), entonces$$\lim_{x\rightarrow∞}{f(x)}=∞$ $

¿Es esta afirmación verdadera?

Si esta afirmación es verdadera, ¿cómo puedo probar?

Answer 1

Deje$m=f'(0)$ y configure$g(x)=mx+f(0)$. Tenemos$f(x)\ge g(x)$ para todos$x>0$ y$\lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=\infty$.

Answer 2

vadim123 respuesta clínica, me gusta. Una más tradicional prueba sería:

Para $\forall x_0$, para considerar $a>0$, $f(x_0 + a)$'s expansión de Taylor en $x_0$: $$ f(x_0+a) = f(x_0) + f'(\xi_0) $$ para algunos $\xi_0 \in (x_0,x_0+a)$. Desde $f''>0$ implica $f'$ es estrictamente creciente, tenemos $f'(\xi_0) > f'(x_0)= b >0$, esto nos da: $$ f(x_0+a) > f(x_0) + ab. $$ Ahora considere el $f(x_0 + 2a)$'s de la expansión de Taylor en $(x_0+a)$, similar argumento anterior nos da: $$ f(x_0+2a) = f(x_0+a) + f'(\xi_1)> f(x_0) + ab + ab + af'(\xi_1) > f(x_0) + 2ab $$ La deducción de los rendimientos: $$ f(x_0 + na)> f(x_0) + nab. $$ De vuelta a $f$ $a>0$ fijo: $$ \lim_{x\to \infty} f(x)= \lim_{n\to \infty} f(x_0+ na) \geq \lim_{n\to \infty} \big( f(x_0) + nab\big) = \infty. $$