Para$n\geq 1$$x \gt 0$, definir
$$ R_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(x+\frac{2k-1}{2n})^2} $$
a continuación, $R_n(x)$ es una suma de Riemann, que converge a la integral
$$ R=\int_{0}^1 \frac{dt}{(x+t)^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} $$
Tenemos
$$ R-R_1(x)=\frac{1}{x(x+1)(2x+1)^2} $$
$$ R-R_2(x)=\frac{16x^2+16x+9}{x(x+1)(4x+1)^2(4x+3)^2} $$
$$ R-R_3(x)=\frac{3888x^4 + 7776x^3 + 6984x^2 + 3096x + 675}{x(x+1)(6x+1)^2(6x+3)^2(6x+5)^2} $$
Así, por $n\leq 3$, y el numerador de $R-R_n(x)$ ha positivos de los coeficientes. Puede alguien demostrar que $R>R_n(x)$ cualquier $n$$x$, mostrando los coeficientes son siempre positivas, o por cualquier otro método?
Por cierto, esto podría parecerse a la tarea, pero no lo es.