Monomios no en un ideal

Question

Que $R=\mathbb{R}[x,y]$ denotan el comutativo anillo de polinomios en dos variables $x,y$ con coeficientes reales. Mostrar que para cada $k \in \mathbb{N}$ allí existe un monomio de grado $k$ no pertenecientes al ideal generado en $R$ $p(x,y)=x^2+y^2$.

P.D. sé que son los elementos del ideal de la forma $q(x,y)(x^2+y^2)$ $q(x,y)\in R$. Estoy tratando de probar, por ejemplo, que $x^k$ no es de esa forma. Pido por la razón de por qué... (debe ser algo obvio que no puedo ver)

Answer 1

Supongamos que $x^k = q(x,y)(x^2+y^2)$.

$q$ no tiene ningún término de $y^n$, de lo contrario el producto tendría $y^{n+2}$. Asimismo, $q$ no tiene ningún término de $x^ny^m$. Entonces, es un polinomio en $q$ $x$, pero esto también es imposible. Por lo tanto, $x^k$ no es el ideal.

De hecho, usted puede convencer a sí mismo de una manera similar que todos los elementos de distinto de cero del ideal son al menos binomiales.