Aquí es un batiburrillo de ejemplos, contraejemplos, teoremas, ... que yo plagiado adaptado de la respuesta por parte de algún tipo con un complicado nombre a la análoga pregunta para el complejo de la analítica de los espacios.
Espero que te dará algo de intuición por la llanura, que "enigma que sale de álgebra, pero que técnicamente es la respuesta a muchas oraciones" (Mumford, Libro Rojo, página 214).
Deje $f:X\to Y$ ser un esquema de morfismos, localmente finito de presentación. Entonces:
a) $f$ liso $\implies$ $f$ de la plana.
b) $f$ plana $\implies$ $f$ abierto, es decir, envía abrir subconjuntos para abrir subconjuntos).
Tenga cuidado, sin embargo, que los naturales de morfismos $\operatorname {Spec}\mathbb Q \to \operatorname {Spec} \mathbb Z$ es plano y, sin embargo, no abierto: esto es debido a que no es localmente finito de presentación.
c) Abrir las inmersiones son planas.
d) sin Embargo generales mapas abiertos no necesita ser plana. Un contraejemplo es: $$\operatorname {Spec k}\to \operatorname {Spec} k[\epsilon]=\operatorname {Spec} \frac {k[T]}{\langle T^2\rangle }$$
e) La normalización $X=Y^{\operatorname {nor}}\to Y$ de no-normal esquema es NUNCA plana.
Por ejemplo, la normalización de la cúspide $C=V(y^2-x^3)\subset \mathbb A^2$ :$$\mathbb A^1\to C:t\mapsto (t^2,t^3)$$ no es un piso de morfismos.
f) Un cerrado de inmersión es NUNCA plana, a menos que también es un abierto de inmersión [cf. c)].
g) Si $X,Y$ son regulares y $f:X\to Y$ es finito y surjective, a continuación, $f$ plano.
por ejemplo, la proyección de la parábola $y=x^2$ a de la $y$-eje es plana, aunque de una fibra es de un solo punto (pero no un reducido!) mientras que las otras fibras tienen dos puntos (reducción).
Como otro ejemplo, cada no constante de morfismos entre suaves curvas proyectivas es plana.
h) Si $Y$ es integral y $X\subset Y\times \mathbb P^n$ es un cerrado subscheme, la proyección de $X\to Y$ es plano si y sólo si todas las fibras $X_y=\operatorname {Spec}\kappa(y)\times X$ ($y$ cerrado en $Y$) tienen el mismo polinomio de Hilbert.
En particular, las fibras deben tener la misma dimensión, de modo que, por ejemplo, el golpe de morfismos $\widetilde {\mathbb P^n}\to \mathbb P^n$ $\mathbb P^n$ a un punto de $O$ no es plana, ya que todas las fibras son de un solo punto, a excepción de la fibra en$O$$\mathbb P^{n-1}$.
Observe cómo los morfismos $\operatorname {Spec k}\to \operatorname {Spec} k[\epsilon]$ evocado anteriormente (para el que sólo tiene una fibra!) los rendimientos de un contraejemplo a la g) si no se asumen $Y$ de reducción.
Este mismo resultado general h) (que está en el corazón de la teoría de los esquemas de Hilbert) puede ser la mejor ilustración de lo que planitud realmente significa.
