Fórmula integral definida de la wikipedia

Question

Necesito resolver una cierta integral definida, y varios lugares (por ejemplo Wikipedia ) Me he encontrado con la siguiente fórmula:

$ \displaystyle\int_0 ^{ \infty } \frac {x^mdx}{(x^n+a^n)^r}= \frac {(-1)^{r-1} \pi\ a^{m+1-nr}\ \Gamma\big ((m+1)/n \big )}{n \sin ((m+1) \pi /n)(r-1)!\ \Gamma\big ((m+1)/n-r+1 \big )}$

con la única condición $0<m+1<nr$ . Sin embargo, esto me parece indefinido para $(m+1)/n=3,5,7, \ldots $ por el seno, que son exactamente los casos que necesito. Como esto no está contenido en las condiciones, ¿me equivoco? Y si no, ¿cómo va a resolver la integral?

Como ejemplo, la matemática me da la respuesta $ \frac { \Gamma (A-3)}{ \Gamma (A)}$ cuando uso $m=5,\ a=1,\ n=2,\ r=A$ que es uno de los casos que necesito.

Answer 1

No te equivocas, más bien Wikipedia no da la respuesta en su forma más simple. En realidad es $$ \int_ {0}^{ \infty } \frac {x^mdx}{(x^n+a^n)^r}=a^{m+1-nr} \frac { \Gamma\left ( \frac {m+1}{n} \right ) \Gamma\left (r- \frac {m+1}{n} \right )}{n\, \Gamma (r)}. \tag {1}$$ La fórmula que has visto antes se obtiene de ésta usando la relación de reflexión de la función gamma $ \Gamma (z) \Gamma (1-z)= \frac { \pi }{ \sin\pi z}$ con $z=r- \frac {m+1}{n}$ . Sin embargo, (1) está bien para los valores de los parámetros.

Answer 2

Puede considerar esta expresión válida como un límite. Demostrémosle el RHS de su expresión $I$ . Entonces, por ejemplo. $r=10,m=3,n=0.8,a=1$ que tienes: $$ \int_0 ^ \infty \frac {x^mdx}{(x^n+a^n)^r}= \lim_ {m \to3 }I= \frac {1}{504}$$ , aunque sustituyendo $m=3$ directamente no funcionaría.