Convexidad de la función inversa

Question

Tengo una pregunta sobre la inversa de una función convexa.

Sea $f(x)$ una función convexa.

¿Es la función inversa, digamos $g(x)=f(x)^{-1}$, necesariamente una función cóncava? Considerando que tal función $g$ sí existe ( $f$ es inversible):

¿Es necesariamente una función cóncava?

¿Qué tal el opuesto $-f(x)$, es cóncavo?

¿Algunas pistas?

Answer 1

No estoy seguro de si te refieres al inverso de la función, es decir, $f^{-1}$ tal que $f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$, o al recíproco, es decir, $f(x)^{-1}=1/f(x)$.

El recíproco de una función convexa no tiene por qué ser cóncavo, por ejemplo, mira $f(x)=e^x$. $f$ es convexa. Su recíproco $f(x)^{-1}=1/f(x)=e^{-x}$ también es convexo.

Por otro lado, si $f$ es convexa, entonces $-f$ es cóncava y viceversa. Esto se debe a que solo tienes que multiplicar la desigualdad definitoria de la convexidad por $-1$ y cambiar el signo de la desigualdad.

Para la función inversa hay dos casos: dado que $f$ es continua y biyectiva, debe ser estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Si es estrictamente creciente, entonces su inverso es cóncavo. Si es estrictamente decreciente, su inverso es convexo. Un ejemplo es nuevamente $f(x)=e^{-x}$. Esto es convexo y su función inversa es $f^{-1}(x)=-\log x$, también convexa.

Answer 2

Me topé con esta pregunta, preguntándome lo mismo que el autor original. La respuesta de YourAdHere era lo que estaba buscando, pero también necesitaba una prueba formal, así que pensé en agregar eso para complementar su respuesta.

Considera una función continua, convexa y biyectiva $f: A \rightarrow B$ y su inversa $f^{-1}: B \rightarrow A$. Por definición de convexidad tenemos para $\lambda \in [0, 1]$ y $x, y \in A$: \begin{align} f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y). \end{align> Para $u, v \in B$ define \begin{align>%\label{} a :=& f^{-1}(\lambda u + (1-\lambda) v) \\ b :=& \lambda f^{-1}(u) + (1-\lambda)f^{-1}(v) \,.

Si $a \leq b$ entonces $f^{-1}$ es convexa, de lo contrario es cóncava. Tenemos \begin{align>%\label{} f(a) =& f(f^{-1}(\lambda u + (1-\lambda) v) ) \\ =& \lambda u + (1-\lambda) v = \lambda f(f^{-1}(u)) + (1-\lambda)f(f^{-1}(v)) \\ \geq& f(\lambda f^{-1}(u) + (1-\lambda) f^{-1}(v)) = f(b) \,.

donde la desigualdad se debe a la convexidad de $f$. Entonces, si $f' \geq 0$ tenemos que $f(a) \geq f(b) \Leftrightarrow a \geq b$ y por lo tanto $f^{-1}$ es cóncava. Si por el contrario $f' \leq 0$, entonces $f(a) \geq f(b) \Leftrightarrow a \leq b$ y $f^{-1}$ es convexa.

Answer 3

Como no especificaste el dominio y el rango, asume que f es una función real. Además, para que la inversa esté definida, asume que f es uno a uno. Por lo tanto, f es creciente o decreciente. Ahora, la inversa de f refleja f sobre la línea y=x. ¿Puedes visualizar qué hace esta reflexión a las funciones convexas o cóncavas?