Dominio de Holomorphy

Question

Cómo mostrar que $D={ |z_1|&lt1} \cup { |z_2|&lt1} \subset \mathbb{C}^2$ es no un dominio de holomorphy. ¿Cuál es el dominio más pequeño de holomorphy $ S\supset D $?

Creo que simplemente no podemos añadir el límite distinguido (el toro $|z_1|=1, |z_2|=1$) a $D$ porque violaría el analiticity. ¿Debemos usar logarítmico argumento de convexidad para extender nuestro dominio? ¿Puede alguien ayudarme?

Obrigado.

Answer 1

Para Reinhardt dominios, reconociendo los dominios de holomorphy es mucho más fácil que en general los dominios.

A ver que $D$ en cuestión no es un dominio de la holomorphy, la más sencilla es probablemente usar el siguiente teorema de la convergencia de potencia de la serie:

Teorema Deje $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ ser conectado Reinhardt dominio que contiene la $0$ y asumir que $f$ es holomorphic en $\Omega$. Entonces, el poder de la serie de $f$ alrededor del origen converge (normalmente) en $\tilde \Omega$ -- el logarítmicamente casco convexo de $\Omega$.

Por lo tanto, cualquier función de holomorphic en $\Omega$ se extiende a $\tilde\Omega$. De hecho, más es verdadero, es decir $\tilde\Omega$ es el más pequeño de dominio de holomorphy que contengan $\Omega$. Así que, en su caso, usted quiere encontrar $\tilde D$.

También es posible ver que $D$ no es un dominio de holomorphy por un "empuja los discos de" argumento, pero esto es un poco complicado de escribir de forma explícita.

Para una referencia a el teorema anterior, véase, por ejemplo, Krantz, teoría de la Función de varias variables complejas. En mi (algo antigua) edición, es la proposición 2.3.16. La prueba de la siguiente manera a partir de Cauchy de la integral fórmula en polydiscs, y no es muy difícil.