Repetición de decimales

Question

¿Me pregunto cómo simplificamos los decimales de repetición en una fracción en general?

Como, por ejemplo,

$$0.5656\dots$$

$$0.12424\dots$$

$$4.23777\dots$$

¡Gracias!

Answer 1

Voy ilustrar la técnica con $1.23456456456\dots$; usted debe ser capaz de generalizar muy fácilmente.

Que $x=1.23456456456\dots$. $10^3x=1234.56456456\dots$, Así

$$999x=1234.564\,564\,564\dots-1.234\,564\,564\dots=1233.330\,000\,000\dots=1233.33\;.$$

Multiplicar por $10^2$ para eliminar los decimales: $99900x=123333$. Ahora sólo resolver $x$.

En el primer paso yo simplemente cambió de puesto el punto decimal de la longitud del bloque de repetición. Asegura que la resta me dejaría con la terminación de un decimal.

Answer 2

Puede echar un vistazo a aquí aquí. Ese vínculo debe responder a su pregunta.

Aquí, sólo te daré un ejemplo, si desea que la instrucción paso a paso, puedes mirar el enlace de arriba.

$\begin{align}4.12222... &= 4.1 + 0.0222...\ & = 4.1 + \frac{0.2222...}{10} \ & = \frac{41}{10} + \frac{\frac{2}{9}}{10} \ & = \frac{41}{10} + \frac{2}{90}\ &= \frac{371}{90} \end {Alinee el} $

Answer 3

Otros ya se ha indicado cómo mostrarlo, pero aquí está el resultado. $$0.a_1a_2\dots a_n a_1 a_2 \dots = \frac{a_1a_2\dots an}{\underbrace{999\cdots9}{n \text{ nines}}}.$$

Answer 4

Hay un método para hacerlo, por ejemplo, tomemos $4.23777\ldots$. El decimal de repetición parte es $4.23$ y la repetición es $0.00777\ldots$. La idea es separar la parte decimal de repetición y luego cancelarla. $x=4.23777\ldots$ De escribir y hacer el siguiente $$x=4.23777\ldots$ $ $$100x=423.777\ldots$$ $$1000x=4237.77\ldots$ $ $$1000x-100x=4237.77\ldots-423.777\ldots=(4237-423)+(0.777\ldots-0.777\ldots)=3814$ $ $$900x=3814$ $ $$x=\frac{3814}{900}=\frac{1907}{450}$ $ por tanto $4.23777\ldots=\frac{1907}{450}$.

Answer 5

Digamos que su número tiene un formulario $$ N = I_1I_2\ldots I_n.D_1D_2\ldots D_m \left(P_1 P_2 \ldots P_k\right) $$ donde $I_1I_2\ldots I_n$ es una parte entera, $D_1D_2\ldots D_m$ no es la repetición de parte de la decimal, y $P_1P_2\ldots P_k$ es la repetición de parte de la decimal. Así, es más general de la forma de dicho número. Por ejemplo $$ N = 455.01102(979665) = 455.01102\ 979665\ 979665\ 979665 \ldots $$ así $$ I_1 = 4;\quad I_2 = 5; \quad I_3 = 5 \\ D_1 = 0; \quad D_2 = 1; \quad D_3 = 1; \quad D_4 = 0; \quad D_5 = 2 \\ P_1 = 9; \quad P_2 = 7;\quad P_3 = 9; \quad P_4 = 6; \quad P_5 = 6; \quad P_6 = 5 $$ A continuación, puede volver a escribir es como $$ N = I_1I_2\ldots I_n.D_1D_2\ldots D_m + 0.\underbrace{000\ldots 0}_{\text{$m$ veces}}\left(P_1 P_2 \ldots P_k\right) = \\ = I_1I_2\ldots I_n.D_1D_2\ldots D_m + 10^{m} \times 0.\a la izquierda(P_1 P_2 \ldots P_k\right) $$ Así que, debes tener en cuenta la $P = 0.\left(P_1 P_2 \ldots P_k\right)$ sólo una parte.

Como se sugirió, multiplicar la totalidad de la cosa a $10^k$ y restar el número inicial, por lo que $$ 10^kP-P = \underbrace{999\ldots 9}_{\text{$k$ veces}}P = P_1P_2 \ldots P_k.(P_1P_2\ldots P_k)-0.(P_1P_2\ldots P_k) = P_1P_2\ldots P_k$$ así que usted puede encontrar ahora $$ P = \frac {P_1P_2\ldots P_k}{\underbrace{999\ldots 9}_{\text{$k$ veces}}} $$ y, finalmente, $$ N = I_1I_2\ldots I_n + \frac {D_1D_2\ldots D_m}{10^m} + \frac {P_1P_2\ldots P_k}{10^m\underbrace{999\ldots 9}_{\text{$k$ veces}}} $$