Mirando la base de $ \mathbb {Q}[ \sqrt [3]{2}, \omega_3 ]$ no me da ninguna idea de cómo generarlo usando $\{1, \alpha , \alpha ^2, \alpha ^3, \alpha ^4, \alpha ^5\}$ para algunos $ \alpha $ algebraico sobre $ \mathbb {Q}$ .
Respuesta
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Si $K$ es un campo infinito y $ \alpha , \beta $ son algebraicos separables sobre $K$ entonces hay algo de $u \in K$ de tal manera que el $ \alpha_i + u \beta_j $ son dos veces distintas, en las que $ \alpha_i , \beta_j $ son los conjugados de $ \alpha , \beta $ . Esto es exactamente lo que sucede en la prueba del teorema del elemento primitivo. Uno entonces prueba que $ \alpha + u \beta $ es un elemento primitivo de $K( \alpha , \beta )$ . En realidad, en muchos casos $u=1$ hará el trabajo.
Deje que $ \alpha = \sqrt [3]{2}$ y $ \beta = \omega_3 $ . Los conjugados de $ \alpha $ son $ \alpha \beta ^i$ con $i=0,1,2$ . Los conjugados de $ \beta $ son $ \beta ^j$ con $j=1,2$ . Se calcula (con un software de álgebra informática, por ejemplo) que los elementos $ \alpha \beta ^i + \beta ^j$ son dos veces distintas. Por lo tanto, $ \sqrt [3]{2}+ \omega_3 $ es un elemento primitivo de $ \mathbb {Q}( \sqrt [3]{2}, \omega_3 )$ .
