Necesidad de la integridad del espacio interior producto de Teorema de representación de Riesz

Question

Quería encontrar un contador ejemplo para demostrar que la integridad del espacio producto interno es necesaria en el teorema de representación de Riesz. Por favor dar un ejemplo de un % funcional lineal acotado $T$en un % de espacio de producto interno incompleto $X$que no tienen ninguna representación de producto interno, es decir, no existe ningún $z$ $X$ % s.t. $T(x)= \langle ,z\rangle$todos $x$ $X$.

Answer 1

Usted puede tomar $X\subset\ell^2(\mathbb N)$ por $$ X = \ {x\in\ell ^ 2 (\mathbb N): \ \text {solamente finito muchas entradas de $x$ son distinto de cero} } $ y $$ Tx = \sum_ {n = 1} ^ n \infty\frac {x_n} $$

Answer 2

Tome $C[0,1]$ $L^2$ producto interior. Deje $\phi(f) = \int_{1 \over 2}^1 f(t) dt$.

Es sencillo ver que $\phi$ está delimitado por Cauchy-Schwarz.

A ver que $\phi$ no puede ser representado por un elemento de a $C[0,1]$ procedemos por la contradicción. Supongamos $\phi(f) = \int_0^1 g(t) f(t) dt$. Desde $\phi(g) = \|g\|^2 = \int_{1 \over 2}^1 (g(t))^2 dt$, vemos que debemos tener $g(t) = 0$ todos los $t \in [0, {1 \over 2}]$. Ahora elige una secuencia de positivo funciones continuas $f_n$ tal que $f_n$ tiene apoyo en $[{1 \over 2}, {1 \over 2}+ {1 \over n}]$$\int_0^1 f_n(t) dt = 1$, luego tenemos a $\phi(f_n) = 1$ todos los $n$, pero la continuidad de $g$ da $\lim_n \phi(f_n) = g({1 \over 2}) = 0$, una contradicción.

Anexo: Aquí es ligeramente más sencillo poner fin a la anterior prueba: Vamos a $\bar{\phi}(f) = \int_0^{1 \over 2} f(t) dt$ y tenga en cuenta que $\phi(f) + \bar{\phi}(f) = \int_0^1 f(t) dt$. Desde $\int_0^1 f(t) = \langle 1, f \rangle$, si tenemos $\phi(f) = \int_0^1 g(t) f(t) dt $, entonces esto da $\bar{\phi}(f) = \int_0^1 (1-g(t)) f(t) dt$. Como anteriormente, ya que el $\bar{\phi}(1-g) = \|1-g\|^2 = \int_0^{1 \over 2} (1-g(t))^2 dt$, vemos que debemos tener $g(t) = 1$$t \in [{1 \over 2},1]$, lo que se contradice con la continuidad de $g$$t={1\over 2}$.

Answer 3

F(x)\,\overline{g(x) de que $X$ el espacio de polinomios trigonometricas, que es un subespacio denso de $L^2[0,2\pi]$, con respecto a la producto interno $$ \langle f, \rangle=\frac{1}{2\pi}\int0^{2\pi g}} \, dx. $$ % Que $h(x)=\sum{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\sin nx$. Claramente, $h\in L^2[0,2\pi]$, $h\notin X$ y define en $X$ el acotado lineal funcional $ \ell{f}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\,\overline{h(x)} \, dx. $$ No es representable por un polinomio trigonometric.