$A_{n\times n}$ que implica : $A^2-2A+I=0$ Prueba $1$ es un eigevalue de $A$

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Dejemos que $A_{n \times n}$ que implica : $A^2-2A+I=0$

• Prueba $1$ es un eigevalue de $A$

No sé muy bien cómo enfocar esto lo que consigo hacer (aunque no es mucho):

• $A(A-2I)=-I$

Sabemos que si $\lambda$ es un valor propio, entonces $Ax=\lambda x$ $(x \neq 0)$

$$A(A-2I)=I$$ Puedo decir ahora que desde $Ax=\lambda x$ y Deja que $x=(A-2I)$ pero $x$ es un vector, no una matriz.

No entiendo muy bien qué hacer a continuación.

Cualquier ayuda será muy apreciada, gracias.

Answer 1

Pista: Para cualquier vector no nulo $x$ , $(A - I)^2 x = 0$ . Si $(A-I) x = 0$ entonces... Si no, entonces ...

Answer 2

Tenga en cuenta que

$(A - I)^2 = A^2 - 2A + I = 0; \tag{1}$

por lo tanto, para todos $n$ -vectores $x$ ,

$(A - I)^2 x = 0; \tag{2}$

si

$(A - I)x = 0 \tag{3}$

para todos $x$ entonces

$Ax = Ix = x \tag{4}$

para todos $x$ también; en este caso, $A = I$ es la matriz de identidad, y todo vector no nulo es un vector propio de $A$ con valor propio $1$ . Si, por el contrario, hay algún $x$ con

$(A - I)x \ne 0, \tag{5}$

ajuste

$y = (A - I)x, \tag{6}$

de (2) se deduce que

$(A - I)y = (A - I)(A - I)x = (A - I)^2x = 0, \tag{7}$

es decir,

$Ay = Iy = y; \tag{8}$

que muestra que $y \ne 0$ es un vector propio de $A$ con valor propio $1$ Así, vemos que $1$ es siempre un valor propio de $A$ .

Answer 3

Dejemos que $x$ sea un vector propio de $A$ para que $Ax=\lambda x$ entonces $$(A^2-2A+I)x=A(Ax)-2Ax+Ix=\lambda Ax-2\lambda x +x=(\lambda^2-2\lambda+1)x=0$$

Y con $x\neq 0$ tenemos $\lambda=1$

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Según los comentarios de abajo, necesitamos saber que tenemos un vector propio en primer lugar.

Esto nos lleva directamente a la respuesta de Robert Israel.

Tenemos $(A-I)^2=0$ de modo que para cualquier vector $y$ tenemos $$(A-I)^2y=(A-I)[(A-I)y]=0y=0$$ para que si $(A-I)y=z\neq 0$ $z$ es un vector propio de valor propio cero de $A-I$ es decir, tenemos $$(A-I)z=0$$ de donde $Az=z$ y por lo demás...

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Comentario

Este fue un intento un poco apresurado de trabajar a partir de la definición. Aquí es mucho más fácil trabajar con los vectores propios que están a la vista - no es necesario encontrarlos. Así que esta no es una gran respuesta, pero la dejo como un ejemplo de cómo las cosas pueden ir mal, por si acaso ayuda a otros.

Answer 4

Esto significa que el polinomio mínimo de $A$ divide $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$ y por lo tanto es $(x-1)$ o $(x-1)^{2}$ . Así que $1$ es una raíz del polinomio mínimo de $A$ por lo que es un valor propio de $1$ .

Answer 5

Deberías notar la factorización como un cuadrado como si $A$ fuera un número real: $$ A^2-2A+I=(A-I)^2=\bf{0} $$ donde $\bf{0}$ denota la matriz cero de dimensión $n\times n$ . Si $A-I$ fuera inyectivo, el mapa cero tendría que ser inyectivo, pero claramente no lo es.