Puede una estructura algebraica han indistinguibles de los elementos?

Question

A veces, un espacio topológico ha indistinguible puntos - hacemos un llamado a los espacios no-$T_0$. Pero dado que un espacio de este tipo, siempre se puede identificar indistinguible puntos, dando así un $T_0$ espacio. (Técnicamente, hemos tomado el Kolomogorov cociente).

¿Este tipo de cosas nunca ocurren en álgebra abstracta?

He aquí dos ejemplos más.

• Un conjunto preordenado puede tener comparables, puntos distintos - en otras palabras puede no ser antisimétrica. Pero eso es genial, podemos identificar comparable puntos para obtener un conjunto parcialmente ordenado.
• A veces un pseudometric espacio tiene distintos puntos que son cero distancia. Pero eso está bien, podemos identificar a cero de la distancia de puntos para obtener un espacio métrico.

Edit: sería bueno para ver una definición de "indistinguibles" para los elementos de estructuras arbitrarias. Entonces sería una consecuencia de esta definición más general que para cualquier conjunto preordenado $X$ (el fin de la relación $\leq$) sostiene que la $x,y \in X$ son indistinguibles iff $x \leq y$$y \leq x$.

He aquí un ejemplo. Considere la función $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, $f(n)=0$ todos los $n \in \mathbb{N}$. La asociada a la noción de indistinguishability para la estructura de $(\mathbb{N},f)$ probablemente debería ser la relación $\sim$ tal que $a \sim b$ fib tanto $a$ $b$ igual $0$, o ambas $a$ $b$ son distintos de $0$.

Edit2: Por otro lado, tal vez no tiene sentido hablar de 'el natural noción de indistinguishability en una estructura $X$' sin primero situar esa estructura en una categoría. Después de todo, si vamos a cociente por el indistinguishability relación, epimorphisms, probablemente aparecerá en algún momento.

Answer 1

En el campo $\Bbb Q(t,s)$ donde $t,s$ dos son algebraicamente independientes trascendental números.

A continuación, estos dos números son completamente inseparables de primer orden de la fórmula en el lenguaje de los campos.

Por lo general, si $\cal L$ es algunos de primer orden lenguaje de alguna estructura, entonces hay en la mayoría de las $\aleph_0\cdot|\cal L|$ definibles elementos en la estructura dada. Si por "indistinguibles" nos referimos a la "inseparable de primer orden de la fórmula con parámetros limitados$^1$", entonces cualquier suficientemente grande, la estructura, invariablemente contienen una gran cantidad de elementos indistinguibles.

Un buen lugar para aprender acerca de estas cosas es el modelo de la teoría, y, en particular, el concepto de "tipo".

Edit: Para su última edición, acerca de $(\Bbb N,f)$ tenga en cuenta que $0$ es definible elemento de la estructura con la fórmula $x=f(x)$. Y ya que no tienen los demás símbolos en el lenguaje es realmente imposible expresar otra cosa. Por lo tanto, es muy fácil ver que en el conjunto vacío, cada dos cero los elementos de satisfacer las mismas fórmulas con una variable libre.

(Para ver que no podemos expresar otra cosa, al menos sin parámetros, tenga en cuenta que si $m,n$ no son cero, entonces hay un automorphism que los intercambios entre los dos. Por lo tanto cada dos distinto de cero elementos deben cumplir las mismas fórmulas [en una variable libre].)

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Notas a pie de página:

1. Por supuesto, si permitimos que cualquier parámetro, a continuación, $\varphi(x,y)$ define como $\lnot(x=y)$ es suficiente para distinguir entre dos miembros. Pero si, como en el primer ejemplo, nos permiten sin parámetros o parámetros de un pequeño subestructura - entonces, si el universo de la estructura es lo suficientemente grande, habrá muchos elementos indistinguibles.

Answer 2

Una categoría generalmente tiene distintas pero isomorfo objetos. Esto generaliza tanto de sus viñetas ejemplos: un preorder es una categoría en la que hay más de un morfismos entre dos objetos, y una pseudometric en el espacio es una enriquecido categoría (ver Lawvere espacio métrico). Deshacerse de este extra ambigüedad cantidades a tomar un esqueleto.

Ya que las categorías son omnipresentes, esto le da una gran riqueza de ejemplos. Aquí están algunas de las cuales son más algebraicas en el sabor:

• Un conjunto $X$ junto con una acción de un grupo de $G$ puede ser considerado como una categoría (de hecho, un groupoid) con un morfismos $x \to y$ por cada $g \in G$ tal que $gx = y$. Dos objetos son isomorfos si están en la misma órbita con respecto a la acción del grupo.
• Dado un campo $k$ se puede considerar que la categoría de extensiones algebraicas de $k$. Esta categoría contiene varios algebraicas cierres de $k$, todos los cuales son isomorfos.

Answer 3

Un anillo conmutativo $A$ $1$ puede contener nilpotent elementos, que forman un ideal de a $A$, llamado el nilradical $nil(A)$$A$. En algunos contextos, tiene sentido para matar estos nilpotents y pasar a $A_{red} := A/nil(A)$, el subyacente se redujo en forma de anillo. (Reducción significa "todos nilpotents son cero".)

Answer 4

Sí.

• añadir un anillo de algunos elementos null $\eta_i$ $\eta_i x = 0$ todos los $x$.

• añadir las coordenadas de $X_i$ y ecuaciones $X_i = 0$ a la presentación de una variedad algebraica por medio de ecuaciones.

• para una estructura algebraica que tiene una noción de representación, considerar los elementos que actúan de la misma en todas las representaciones como indistinguibles.

El cociente implícita en el último ejemplo es para evitar que la estupidez como tomar un número finito de anillo, junto a una cantidad no numerable de elementos null, y el pensamiento de que como un "grande" de la estructura.

Answer 5

$i$ $-i$ son algebraicamente indistinguibles de los puntos de $\mathbb C$ debido a la conjugación es un campo automorphism $\mathbb R$.