Normalización de Noether en $\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]$

Question

Tengo un problema en la comprensión de la prueba del siguiente teorema:

Deje $I\subseteq\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]$ ser un ideal. Entonces existe un $k\in\mathbb{N}$ y un lineal de coordenadas cambio $\phi:\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]\to\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]$ tal que $\mathbb{C}[[x_1,...,x_k]]\subseteq\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]/\phi(I)$ $\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]/\phi(I)$ es finito como $\mathbb{C}[[x_1,...,x_k]]$-módulo.

Como para la prueba, suponga $I\neq0$. Deje $0\neq f\in I$, entonces uno encuentra un lineal de coordenadas cambio $\phi_1:\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]\to\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]$ tal que $\phi_1(f)$ $x_n$- regular. Por el Weierstraß Preparación Teorema, hay una unidad de $u$ y un Weierstraß polinomio $p$ w.r.t. $x_n$ tal que $u\phi_1(f)=p$. En particular, $\mathbb{C}[[x_1,...,x_{n-1}]]\hookrightarrow\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]/p$ es finito. Por lo tanto $\mathbb{C}[[x_1,...,x_{n-1}]]\to\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]/\phi_1(I)$ es finito.

La parte en negrita es donde estoy atascado. En primer lugar, finito significa que el lado derecho es un finitely módulo generado sobre el lado izquierdo, es esto correcto (o es sobre la imagen de la lhs)? En este supuesto, la primera parte es debido a $p$ ser un Weierstraß polinomio w.r.t. $x_n$, es decir, $p$ tiene términos que contengan $x_n$ sólo hasta un cierto orden.

Edit: Si $f=\sum_{\mu\geq m}f_\mu$ es la homogeneidad de la descomposición de la $f$$f_m\neq 0$, ninguna de $(a_1,...,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n-1}$$f_m(a_1,...,a_{n-1},1)\neq 0$, y definir $\phi_1(x_i):=x_i+a_i x_n$ $i&ltn$, $\phi_1(x_n):=x_n$. A continuación, $\phi_1$ es lo que quería. Pero aún así, no entiendo por qué esto $\phi_1$ parece funcionar para todos los $f\neq 0$ $I$ simultáneamente. O no es esto lo que necesitamos para la prueba de trabajo? ¿Cómo puedo 'parche' de estos para obtener el resultado en $\mathbb{C}[[x_1,...,x_n]]/\phi_1(I)$?

Y no tienen nada que decir que una vez que la flecha $\hookrightarrow$ (lo que indica de inyectividad para mí), y en la siguiente oración es simplemente un 'normal' mapa?

Gracias de antemano!

Answer 1

Sobre la primera pregunta: un anillo $B$ es finito sobre un anillo $A$ $B$ de la iff es un finito $A$-módulo. Ahora, que $A = \mathbb C[[x1,\ldots,x{n-1}]]$. Entonces $$C[[x_1,\ldots,xn]]/\langle p \rangle \cong \bigoplus{i=0}^{\deg p - 1} A x_n^i$$ as $A $-module, so it is obviously finite over $A$.

Para la segunda parte, no estoy 100% seguro, pero creo que simplemente aplica el $\phi_1$ que se utilizó para la construcción de $p$ y aplicar a todos los elementos del ideal. Puesto que es lineal, el resultado es otra vez un ideal.