Comprensión de la prueba que los enteros algebraicos son un subanillo de $\Bbb{C}$

Question

El conjunto $\Bbb{A}$ de todos los algebraica de los números enteros es un sub-anillo de $\Bbb{C}$

Aquí es un extracto de mi libro:

Supongamos $\alpha$ $\beta$ son algebraicas con números enteros, deje $\alpha$ ser la raíz de una monic $f(x) \in \Bbb{Z}[x]$ grado $n$, y deje $\beta$ ser una raíz de un monic $g(x) \in \Bbb{Z}[x]$ grado $m$. Ahora $\Bbb{Z}[\alpha \beta]$ es un subgrupo aditivo de $G= \langle \alpha^i \beta^j ~|~ 0 \le i < n$, ~ $0 \le j < m \rangle$. Desde $G$ un finitely generado, por lo que es su subgrupo $\Bbb{Z}[\alpha \beta]$, y por lo $\alpha \beta$ es un entero algebraico. Del mismo modo, $\Bbb{Z}[\alpha + \beta]$ es un subgrupo aditivo de $\langle \alpha^i \beta^j ~|~ i+j \le n+m-1 \rangle$, y por lo $\alpha + \beta$ también es algebraico.

Estoy teniendo problemas para ver los dos inclusiones, en particular debido a $\Bbb{Z}[\alpha] := \{g(\alpha) ~|~ g(x) \in \Bbb{Z}[x] \}$ y el grado de los polinomios en la $\Bbb{Z}[x]$ es ilimitado, mientras que $G$ y el otro conjunto se construyen a partir de (multivariable) polinomios de grado finito. Quizás alguien pueda hacer esto más explícito. También, ¿cuál es la motivación para la elección de $n+m-1$ como el límite superior para $i+j$, aparte del hecho de que funciona?

Answer 1

Ya $f(\alpha)=0$, cualquier polinomio $g(\alpha)$ reduce a un polinomio $r(\alpha)$ donde $r$ tiene grado $<n anillo="" as="" concreto="" cuando="" de="" divide="" el="" en="" polinomios="" que="" resto="" se="" tomar="" y=""></n>

Answer 2

Personalmente me gusta también pensar en el anillo de $\mathbb{Z}\left[\alpha\right]$ como el más pequeño del sub-anillo de los enteros que contiene $\alpha$. De esta manera, no es tan extraño que $\mathbb{Z}\left[\alpha+\beta\right], \mathbb{Z} \left[\alpha \beta \right] \subseteq \mathbb{Z}\left[\alpha, \beta \right]$, ya que cualquier polinomio en la suma o el producto de $\alpha$ $\beta$ puede definitivamente ser escrito como un polinomio en el "mixto" monomials $\alpha^i \beta^j$. En cuanto a tu segunda pregunta, se podría permitir que tales monomials donde $i+j\geqslant m+n$, pero en este caso al menos uno de $i$ $j$ sería mayor que en el $n$ o $m$, respectivamente. En el caso de que, digamos, $i \geqslant n$, entonces podemos escribir $\alpha^i$ como una combinación lineal de orden inferior poderes de $\alpha$, debido a $\alpha$ satisface una ecuación polinómica de grado $n$. Así que realmente no necesita índices de $(i,j)$ con la suma de más de $n+m-1$.