Deje $\left( {{X_t}:t \in \left[ 0 \right.\left. {, + \infty } \right\rangle } \right)$ ser una cadena de Markov de tiempo continuo en un espacio de probabilidad $\left( {\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P}} \right)$ con un número finito de espacio de estado $S$, definido por el salto de la cadena/de la celebración de los tiempos de definición. Supongamos $A,B \in \sigma \left( {{X_0}} \right)$ $f\left( t \right) = \mathbb{E}\left[ {\mathbb{P}\left( {A|{X_t}} \right)|B} \right]$ es una función decreciente. Supongamos que deseamos calcular el $f'\left( t \right)$. Podemos suponer que $f'\left( t \right)$ es siempre finito.
Hay dos maneras de ir sobre esto, y el otro es probablemente equivocado, pero me gustaría saber por qué.
1) Desde $S$ es finito,
$\mathbb{E}\left[ {\mathbb{P}\left( {A|{X_t}} \right)|B} \right] = \sum\limits_{x \in S} {\mathbb{P}\left( {A|{X_t} = x} \right)\mathbb{P}\left( {{X_t} = x|B} \right)} \Rightarrow f'\left( t \right) = \sum\limits_{x \in S} {\frac{d}{{dt}}\left( {\mathbb{P}\left( {A|{X_t} = x} \right)\mathbb{P}\left( {{X_t} = x|B} \right)} \right)} $.
2) Desde ${f'}$ es finito, $\frac{d}{{dt}}\mathbb{E}\left[ {\mathbb{P}\left( {A|{X_t}} \right)|B} \right]$ es finito por lo $\frac{d}{{dt}}\mathbb{P}\left( {A|{X_t}} \right)$ es finito $\mathbb{P}\left( { \cdot |B} \right)$-casi seguramente. Lebesgue dominado teorema de convergencia implica entonces $f'\left( t \right) = \mathbb{E}\left[ {\frac{d}{{dt}}\mathbb{P}\left( {A|{X_t}} \right)|B} \right] = \sum\limits_{x \in S} {\frac{d}{{dt}}\left( {\mathbb{P}\left( {A|{X_t} = x} \right)} \right)\mathbb{P}\left( {{X_t} = x|B} \right)} $.
Supongamos que 1) y 2) son verdaderas. Que implicaría $\sum\limits_{x \in S} {\mathbb{P}\left( {A|{X_t} = x} \right)\frac{d}{{dt}}\left( {\mathbb{P}\left( {{X_t} = x|B} \right)} \right)} = 0$, lo que tengo fuertes razones para creer que está mal.
Supongamos que mi línea de razonamiento es equivocado cuando llego a la conclusión de que la diferenciación y de la expectativa del viaje. ¿2) mantenga pulsado cuando lo hacen ir a trabajar? En virtud de lo que (como es habitual) aplicable en los supuestos de hacer que ir a trabajar?
EDIT: La siguiente es para una variable aleatoria discreta $X$: $\mathbb{E}\left[ {g\left( X \right)} \right] = \sum\limits_x {g\left( x \right)\mathbb{P}\left( {g\left( X \right) = g\left( x \right)} \right)} = \sum\limits_x {g\left( x \right)\mathbb{P}\left( {X = x} \right)} $, donde la primera igualdad se sigue de la definición, y la segunda es la ley de inconsciente estadístico.
Deje $g\left( x \right) = \frac{d}{{dt}}\mathbb{P}\left( {A|{X^{\left( t \right)}} = x} \right)$,$\mathbb{E}\left[ {\frac{d}{{dt}}\mathbb{P}\left( {A|{X^{\left( t \right)}}} \right)|B} \right] = \mathbb{E}\left[ {g\left( {{X^{\left( t \right)}}} \right)|B} \right] = \sum\limits_x {g\left( x \right)\mathbb{P}\left( {{X^{\left( t \right)}} = x|B} \right)} = \sum\limits_x {\left( {\frac{d}{{dt}}\mathbb{P}\left( {A|{X^{\left( t \right)}} = x} \right)} \right)\mathbb{P}\left( {{X^{\left( t \right)}} = x|B} \right)} $.
