Estoy trabajando con un operador $\textbf{M}$ que está representado por la Mentira de grupo, de MODO que(1,3), por lo que puede ser escrita como, $$ \textbf{M} = \exp{\textbf{L}} $$ donde, $$ \textbf{L} = \begin{bmatrix} 0&a&b&c\\ a&0&d&e\\ b&-d&0&f\\ c&-e&-f&0 \end{bmatrix}. $$ Necesito integrar las $\textbf{M}$ con respecto a uno o más de los parámetros de $\textbf{L}$, por ejemplo, $$ \textbf{B}=\int_{0}^{T}\textbf{M}\,da $$ es la integral de la $\textbf{M}$ con respecto al diferencial de parámetro $a$. Esta integración puede realizarse componente sabia como, $$ B_{i,j}=\int_{0}^{T}M_{i,j}\,da $$ Pero, la analítica, la forma de $\textbf{M}$ es muy engorroso trabajar con cuando todos los parámetros de $\textbf{L}$ son no-cero. Estoy teniendo un momento muy difícil la obtención de soluciones analíticas para los elementos de $\textbf{B}$ en términos de los elementos de $\textbf{L}$. Es posible realizar la integración en la Mentira de álgebra antes de la exponencial mapa? O hay alguna simplificaciones que surgen a partir del conocimiento del grupo de simetría? He buscado durante mucho tiempo, pero no encuentra la manera de escribir de la integración en términos de $\textbf{L}$ directamente.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Disculpas por no producir una mayor respuesta general para arbitrario Mentira grupos, (que quizá se burlan con gran esfuerzo de WP ), pero sólo un camino-mapa para su particular (encantado!) problema.
Yo lo llamo encantado porque se debe recordar que el grupo de Lorentz, con a,b,c parametrización de Kx,Ky,Kz aumenta y d,e,f los tres J ángulos de rotación. Decente tratamientos de las representaciones del grupo de Lorentz , para empezar, recuerde que usted puede tomar las combinaciones lineales de las Ks y Js que se desplazan uno con el otro, y entonces su exponencial es realmente el producto directo de dos exponenciales, $\exp({\bf \theta \cdot A}) \otimes \exp ({\bf \phi \cdot B})$ cada uno en un 2x2 complexified rep, con θ y φ terrible complejo de ángulos que tienen el propósito de hacer un mapa de sus 6 ángulos. Una vez que usted haya hecho de que, a pesar de que, desde exponentiated matrices de Pauli tiene un estándar de resolución lineal de las matrices de Pauli, su integral es manejable---y, más interesante, que se puede expresar como el producto directo de las exponenciales, de donde, la inversión de sus pasos, como un aumento exponencial de una matriz de 4x4, si lo desea.
Puede ser un montón de trabajo, pero es muy sencillo. (Intente con todos los parámetros de fuga excepto una y f primero: usted ha ${\bf M}=\exp(a \sigma_1,~ if\sigma_2) $ en los dos separables 2x2 bloques; a continuación, puede ver en el segundo bloque de factores que están fuera y no se ve afectada por la integración, mientras que la primera es no, y la integral de M es lo ${\bf B}=\int {\bf M}=\exp(\frac{T}{2} \sigma_1 +1\!\!1 \log(2 \sinh(T/2)),~ if\sigma_2) $.) Podría ser una mancha de la física, Wigner rotaciónde estilo argumento demasiado, pero puede tomar mucho tiempo.
