Mostrar si n +1 números enteros elegidos del conjunto $\{1,2,3,...,2n\}$, entonces siempre hay dos que se diferencian por 1

Question

Considerando n = 5 tengo ${1,2,3,...,10}$. Haciendo pares como ${1,2}$, ${2,3}$... total de pares de $9$ que son mis números $6$agujeros y % son ser elegidos, que son las palomas. Así un agujero debe tener dos palomas, que estoy hecho. ¿Es esto correcto?

¿En general si tenemos números de #% de #% % y entonces tenemos los agujeros de #% de #% % y $2n$ palomas, pero $2n-1$ adelante es válido? Hay algo mal que creo

Gracias

Answer 1

Supongamos que puede seleccionar números enteros distintos de $n+1$ ${1,\ldots,2n}$ de tal manera que todos los pares difieren en al menos $2$. Deje que los enteros solicitados denotada como $x1,\ldots, x{n+1}$. También, que se arreglan en orden creciente. Entonces, uno tiene\begin{align} x_1\geq&\,1,\ x_2\geq&\,x_1+2\geq 3,\ x_3\geq&\,x_2+2\geq 5,\ \vdots&\ xk\geq&\,2k-1,\ \vdots&\ x{n+1}\geq&\,2(n+1)-1=2n+1>2n. \end{align} esto es una contradicción, ya que se supone que a más $x_{n+1}$ $2n$ es.

Answer 2

Bien, en su caso cuando $n=5$, no debería hacer el % de pares $\lbrace1,2\rbrace,\lbrace2,3\rbrace,...,\lbrace8,9\rbrace,\lbrace9,10\rbrace$, pero más bien $\lbrace1,2\rbrace,\lbrace3,4\rbrace,...,\lbrace7,8\rbrace,\lbrace9,10\rbrace$, como en el primer caso el mismo entero aparece en dos pares diferentes.

Cuando tenemos los pares correctamente establecidos, directamente podemos aplicar el principio del casillero en nuestro "agujeros" de $n=5$$\lbrace1,2\rbrace,\lbrace3,4\rbrace,...,\lbrace7,8\rbrace,\lbrace9,10\rbrace$, y vemos que si tenemos $n+1=6$ "palomas" en los "agujeros", por lo menos uno de nuestros "agujeros" debe contener dos palomas.

Luego aplicamos el mismo razonamiento para el caso general.

Answer 3

Tiene nueve hoyos y seis palomas, por lo que el principio del casillero no ayuda porque $6Sólo tiene que utilizar cinco agujeros ${1,2},{3,4},{5,6},{7,8},{9,10}$

Answer 4

Supongamos que no, entonces los números difieren en al menos dos. Orden de lo números $a_1<a_2 entonces="" inducci="" nosotros="" por="" probamos="">Paso base $i=1$ está claro (tenemos que demostrar $a_1\geq 1+(1-1)2+1=1$)

Paso inductivo. Tenemos $a{i}\geq 1+(i-1)2$ y $a{i+1}\geq ai+2$ % que $a{i+1}\geq 1+(i-1)2+2=1+((i+1)-1)2$. Tomando el $i=n+1$ obtenemos $a_n\geq 1+(n+1)2=2n+1$, una contradicción puesto que todos los números deben ser en conjunto ${1,2,3\dots 2n}$

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Answer 5

Supongamos que por el contrario que hay no hay dos números consecutivos entre el $n+1$ elegido números. Entonces hay $n$ "vacíos" entre las cifras solicitadas, con al menos $1$ no-elegida número en cada espacio. Pero eso significaría que el número total de números es $\ge (n+1)+n$. Esto es imposible, puesto que sólo tenemos números de $2n$.