Cuantificador universal

Question

$$\int^1_0 f (f(x)t) \,\mathrm{d}t =\frac{1}{2}f(x)$$ for every $$%x.

Tengo que encontrar todas las funciones lineales como: $f(x)=Ax+B$

Pensé que tal vez para diferenciarlo pero no me sale nada...

¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

Vamos a suponer que $f(x) \neq 0$, con el cambio de variables $u=f(x) t$ tienes: $$\int_0^1 f(f(x)t)dt=\frac{1}{f(x)} \int_0^{f(x)} f(u) du$ $ para que la igualdad se reescribe como: %#% $ #% esta igualdad también es cierto cuando $$\int_0^{f(x)} f(u) du=\frac{1}{2} f(x)^2$ $f(x)=0$.

Diferenciando se obtiene:

$0=0$ $ así que si obtienes $$f'(x) f(f(x))=f'(x) f(x)$: $f'(x) \neq 0$ $

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Así si usted busca función lineal verificando la igualdad que tienes ya sea constantes $$f(f(x))=f(x)$ (como $f(x)=B$) o $f'(x)=0$: $f(x)=Ax+b$ $ así: $$A(Ax+B)+B=Ax+B$ $ $$A^2=A$, es decir, $, $$AB+B=B$.

Answer 2

Aunque la respuesta ya ha sido aceptada un caso ha sido descuidado. Si $f'(x)=0$ entonces $f=B$ y $$ \int_0^1 f(tf(x))dt = \int_0^1 B dt =B t |_0^1=B=\frac{B}{2}$ $

Por lo que la función de cero es también una solución