Yo estaba mirando el Bourbaki-Witt Punto Fijo Teorema que establece que
Si $X$ es no-vacío, la cadena completa poset y $f: X \to X$ s.t. $f(x) \geq x$ todos los $x$, $f$ tiene un punto fijo.
Me preguntaba si se podría modificar la prueba de este teorema para probar una versión de la Tarski-Knaster teorema de punto Fijo. Supongamos también que $X$ tiene un mínimo elemento $a$ y cada subconjunto de $X$ tiene un supremum. Deje $f: X \to X$ ser monótona de la función de decir $x \leq y \implies f(x) \leq f(y)$. A continuación, $f$ debe tener un punto fijo.
Prueba: Definir las características funcionales:
$$ \begin{align} g(0) &= a \\ g(\alpha^+) &= f(g(\alpha)) \\ g(\lambda) &= \text{sup}\{g(\alpha) : \alpha < \lambda\} \end{align} $$
donde $\lambda$ es un ordinal límite. Si no hay ningún ordinal $\alpha$ s.t. $g(\alpha) = g(\alpha^+)$ (lo cual sería un punto fijo), a continuación, $g$ debe ser una función monótonamente creciente y por lo tanto es una inyección de los ordinales en $X$ lo cual es una contradicción.
El razonamiento parece un poco dudoso para mí, así que agradecería cualquier pensamientos!
Editar:
Podemos ver $g$ es levemente creciente señalando que, desde el $g(0)$ es el mínimo elemento, tenemos $g(0) \leq g(1)$. Luego, por la monotonía de $f$, $g(1) = f(g(0)) \leq f(g(1)) = g(2)$ y así sucesivamente. Esta noción podría ser formalizado a través de la inducción.
