¡Ayuda! He comprobado que el área de una $1\times 1$ cuadrado es $0$

Question

Vamos a la plaza de la $S$ el conjunto de puntos de $(x,y) \in [0,1]^2$
Deje $R \subset S = S \cap \mathbb{Q}^2$, es decir, el "racional pares" en la plaza.

Para cada uno de estos puntos de $r_i \in$ R, podemos asociar un pequeño cuadrado de $s_i$$\epsilon / 2^i$, centrada en $r_i$. Ahora la colección de $\{s_i\}$ debe cubrir $S$ porque si cualquier región de $S$ es descubierto, luego de que la región contiene una racional par que se descubra que es una contradicción.

Así que ya hemos cubierto $S$, con una buch plazas,$s_i$, $\text{area}(S) \le \sum \text{area}(s_i) = \epsilon$
Desde $\epsilon$ fue arbitraria, el área de un cuadrado es $0$!

Entonces, ¿qué salió mal aquí?

Answer 1

El mismo argumento se puede hacer en una dimensión. Es cierto que el conjunto de puntos izquierda no incluye ninguna región rectangular (en 2D) o intervalo (D 1) pero todavía la 'mayoría' (suponiendo que $\epsilon \ll 1$) de la Plaza. La lógica está muy bien. El error es pensar que el complemento que contiene ningún rectángulo significa que el complemento tiene zona cero.

Answer 2

$\mathbb R^{2}$ es un espacio métrico separable, ya que contiene un subconjunto denso contable, $\mathbb Q^{2}$. Este es exactamente el fenómeno que vemos en este ejemplo. Desde $\mathbb Q^{2}$ es contable, tiene medida cero, y así el complemento, $\mathbb R^{2} - \mathbb Q^{2}$ tiene medida completo, pero contiene no rectángulos, ya que ella no incluso contienen cualquier sistemas abiertos, puesto que su complemento, $\mathbb Q^{2}$ es denso. Ahora si todo lo que restrinja a $[0,1]^{2}$ se obtiene exactamente lo que has demostrado ya.