Vamos a la plaza de la $S$ el conjunto de puntos de $(x,y) \in [0,1]^2$
Deje $R \subset S = S \cap \mathbb{Q}^2$, es decir, el "racional pares" en la plaza.
Para cada uno de estos puntos de $r_i \in $ R, podemos asociar un pequeño cuadrado de $s_i$$\epsilon / 2^i$, centrada en $r_i$. Ahora la colección de $\{s_i\}$ debe cubrir $S$ porque si cualquier región de $S$ es descubierto, luego de que la región contiene una racional par que se descubra que es una contradicción.
Así que ya hemos cubierto $S$, con una buch plazas,$s_i$, $\text{area}(S) \le \sum \text{area}(s_i) = \epsilon$
Desde $\epsilon$ fue arbitraria, el área de un cuadrado es $0$!
Entonces, ¿qué salió mal aquí?