Generación de elevación y unicidad para la ecuación de Laplace en 2D alrededor del cuerpo

Question

Estoy estudiando los Fundamentos de Aerodinámica de Anderson por mi cuenta (como estudiante de física), y he estado luchando para entender la distinción entre el flujo de elevación y el de no elevación (en particular, alrededor de un cilindro) y algunos de los elementos que utiliza.

Anderson comienza resolviendo la ecuación de Laplace alrededor de un cilindro (es decir $D=\mathbb{R}^2/B_1$ ) sujeta a las condiciones de Neumann en la frontera exterior y del cilindro ( $d\phi/dn$ =0 en el cilindro, $d\phi/dx=V_\infty$ , $d\phi/dy=0$ ) con un potencial combinado dipolo/doblete y lineal

$$\phi_1=V_\infty r \cos\theta +\frac{\kappa}{2\pi}\frac{\cos\theta}{r}$$

pero luego construye un potencial de "elevación" añadiendo un flujo de vórtices,

$$\phi_2=V_\infty r \cos\theta +\frac{\kappa}{2\pi}\frac{\cos\theta}{r}-\frac{\Gamma}{2\pi}\theta$$

que también satisface las condiciones de contorno prescritas. Explica que un flujo es producido por un cilindro giratorio, y el otro por un cilindro estacionario, pero me cuesta entender

1. ¿Cómo pueden existir dos potenciales que satisfagan los límites prescritos (de hecho un número infinito, ya que es arbitrario) dado el teorema de unicidad para los límites de Neumann? ¿El teorema de unicidad sólo es válido para dominios conectados? Es una pregunta tonta, pero que no he podido responder.

2. ¿Cómo es posible que el cilindro giratorio produzca el flujo de vórtices? Anderson ha descuidado por completo los efectos viscosos en este capítulo, pero aquí parece dar a entender que la sustentación generada por el cilindro giratorio se debe a las fuerzas de fricción/viscosidad. El flujo es claramente irrotacional para $r\neq 0$ Pero él ha subrayado en otra parte que las fuerzas viscosas producen un flujo rotacional, así que me cuesta conciliar estos puntos.

3. Más adelante en el libro, resuelve el problema construyendo un potencial exclusivamente mediante "láminas de vórtices" para satisfacer la frontera de Neumann, así que me pregunto cuál es el significado de los flujos totalmente irrotacionales (los flujos dipolar e inverso) en el contexto de la teoría de la circulación/flujo. Si podemos satisfacer las condiciones de contorno sin flujo de vórtice, ¿qué restricción teórica nos obliga a utilizarlas? Es probable que esté relacionada con la condición de Kutta, pero de forma poco evidente.

Edición: preguntas de seguimiento:

1. Cuando dices que las condiciones de contorno no están dadas en todas partes, ¿quieres decir que las fronteras de Neumann "implícitas" (que $\mathbf{V}$ debe ir a $\mathbf{V}_\infty$ como $x,y\rightarrow\infty$ ) no son suficientes para garantizar la unicidad? Mirando una prueba del teorema de unicidad para la ecuación de Laplace utilizando el principio de máximo, este tipo de frontera implícita no parece satisfacer las condiciones de unicidad en absoluto. Me pregunto qué efecto tienen esas condiciones en la restricción del conjunto de soluciones posibles. Esto está más allá del alcance de mi pregunta (y estoy tomando una clase de EDP el próximo semestre), así que siéntase libre de omitirlo.

2. En una nota relacionada, ¿hay alguna prueba o explicación heurística de por qué las condiciones de contorno dadas dejan ese grado de libertad en particular? ¿Cómo podría probar que una solución dada es única hasta el valor de la circulación?

3. La esencia de mi pregunta era: "si la velocidad de la corriente libre y la restricción de la derivada normal al cilindro no son suficientes para determinar la solución única, entonces ¿cómo encontramos la circulación y, por tanto, la elevación del cuerpo de forma analítica? Anderson introduce el cilindro que se eleva y el que no se eleva, menciona la condición de Kutta de forma bastante abstracta, y luego empieza a intentar satisfacer la condición de contorno y una restricción sobre la fuerza del vórtice en el extremo de salida utilizando una hoja de vórtice. Su afirmación parece ser que si podemos construir una lámina de vórtices que satisfaga estas condiciones (es decir, que el límite de la superficie aerodinámica sea una línea de corriente con la intensidad de vórtice del extremo de salida nula), entonces la circulación inducida por esta lámina dará exactamente la sustentación/circulación, pero no está claro por qué esto sería cierto. Tengo algo de tiempo para trabajar en esto esta noche, así que puede que sea capaz de responder a mi propia pregunta.

Por favor, siéntase libre de responder tanto o tan poco como quiera. Sospecho que también puedo descifrar algo de esto por mi cuenta. Muchas gracias.

Answer 1

1. La ecuación de Laplace para el potencial tiene soluciones únicas (hasta una constante irrelevante) sólo cuando se dan las condiciones de contorno en todas partes en el límite del dominio. En su caso, tales condiciones sólo se daban en la superficie del cilindro. En este caso hay una familia infinita de posibles soluciones, que se distinguen entre sí por el valor de la circulación. El teorema de la unicidad también se aplica a los dominios con conexiones múltiples.
2. El lenguaje de Anderson parece un poco descuidado aquí (no tengo el libro delante, así que no conozco todo el contexto; también hay que tener en cuenta su público objetivo, lo que limita la cantidad de rigor que es apropiado aquí). Resumiendo, creo que lo que el autor intentaba decir es que podemos pensar en el flujo en cuestión como generado por un cilindro giratorio en flujo viscoso. Obsérvese que el flujo potencial del que habla es, en efecto, una solución de las ecuaciones de Navier-Stokes completas, ya que el término viscoso desaparece para el flujo irrotacional. Así, si consideramos un cilindro bidimensional en un fluido viscoso dentro de un dominio no limitado, que comienza a girar alrededor de su eje en $t=0$ entonces existe una solución de Navier-Stokes que converge asintóticamente a la solución del flujo potencial con circulación para $t\rightarrow\infty$ .
3. No estoy del todo seguro de haber entendido bien tu pregunta, pero parece estar relacionada con el primer punto relativo a las condiciones de contorno y la unicidad. La razón de utilizar láminas de vórtices (o vórtices potenciales) es que no podemos generar un flujo potencial con circulación sin ellas, al menos en el caso discreto. Sin embargo, es posible construir distribuciones de densidad de dobletes que den lugar a una circulación no nula.

Respuestas a las preguntas de seguimiento:

1. Sí, la condición límite de $\mathbf V\rightarrow\mathbf V_\infty$ para $x, y\rightarrow\infty$ (fíjese en la(s) errata(s) de su pregunta) no es suficiente.

2. Tal vez la forma más fácil de ver esto es examinar su ejemplo del flujo de cilindros: El flujo sin circulación tiene vectores de velocidad que son tangentes en todas partes a un círculo de radio $R=\sqrt{\kappa/V_\infty}$ . Ahora se añade el término $\Gamma/2\pi\,\,\theta$ al potencial. Este es el llamado vórtice potencial, que corresponde a un campo de velocidad que tiene líneas circulares, y los vectores de velocidad son tangentes a círculos alrededor del origen en todas partes. Es obvio que el campo de velocidad resultante seguirá siendo, por tanto, tangente al círculo anterior de radio $R$ . Obsérvese también que el campo de velocidad del vórtice potencial decae como $1/r$ , por lo que sus condiciones de contorno en el infinito también se satisfacen. Así, existe una familia infinita de soluciones al problema de flujo potencial alrededor de un cilindro, que se distinguen por el valor de la circulación $\Gamma$ . Ahora, para salir de la simple geometría del círculo, quizá el camino más fácil sea darse cuenta de que un mapeo conforme del plano lleva una solución de la ecuación de Laplace a otra solución de la ecuación de Laplace en el plano transformado. Acortando un poco las cosas, resulta que ahora podemos mapear nuestro disco de radio $R$ a cualquier forma conectada individualmente que queramos, incluida la forma de un perfil aerodinámico. Buenos ejemplos de transformaciones que hacen esto son la transformación de Joukowski y la transformación de Karman-Trefftz.

3. Quizá la forma más intuitiva de ver el papel de la condición Kutta sea la siguiente: Al igual que para el círculo, existe una familia infinita de soluciones de flujo potencial para el flujo alrededor de un perfil aerodinámico. Casi todas estas soluciones tienen un punto de estancamiento posterior que se encuentra en algún lugar de la superficie superior o inferior del perfil aerodinámico. Estos flujos no son físicos, ya que requerirían que el fluido se moviera alrededor del borde de salida (casi) afilado del perfil aerodinámico. Eso no es posible porque requeriría gradientes de presión infinitos. La condición de Kutta dice simplemente que, para un real airfoil, la circulación siempre será tal que el punto de estancamiento posterior se encuentra en el borde de salida.

Answer 2

No tengo el libro delante, pero el punto esencial es que para la mayoría de las situaciones de flujo del "mundo real", la viscosidad del fluido es muy relevante en la formulación de las condiciones de contorno (es decir, no hay "deslizamiento" entre la velocidad tangencial de la frontera y un fluido viscoso), pero su efecto en la solución lejos de la frontera es a menudo insignificante.

Por lo tanto, un buen aproximación al patrón de flujo alrededor de un cilindro giratorio puede derivarse ignorando completamente la viscosidad del fluido (lo que equivale a utilizar la ecuación de Laplace y un método de solución que utilice flujos potenciales, en lugar de las ecuaciones completas de Navier-Stokes), excepto al especificar las condiciones de contorno.

En efecto, esto está relacionado con la condición de Kutta, que es una forma de captar "el efecto global de la viscosidad en el flujo cerca de una lámina aerodinámica" sin resolver realmente el campo de flujo viscoso. Físicamente, si hubiera un cambio rápido entre las velocidades del flujo sobre las superficies de presión y succión en el borde de salida, los efectos viscosos harían que esa discontinuidad se disipara a través del fluido a la velocidad del sonido, y por tanto viajara aguas arriba alrededor de la aerodinámica ya que estamos considerando flujos subsónicos.

Idealizando la situación física, la condición de Kutta dice "ignoremos la viscosidad, pero impongamos la condición de que no haya ninguna singularidad en el campo de flujo en el borde de ataque". Podemos entonces calcular los campos de flujo irrotacional y circulatorio por separado, y sumarlos ya que la ecuación de Laplace es lineal.

El campo de flujo resultante no no satisface las condiciones de contorno del mundo real en el aeroducto, pero a menos que el flujo se separe del aeroducto (¡lo que también es causado por la viscosidad del fluido!) es una aproximación razonable al flujo fuera de la capa límite, y da una aproximación razonable a la fuerza de sustentación - pero no a la fuerza de arrastre, que también depende de cómo la viscosidad afecta al flujo en la capa límite.