Voy a tratar de poner esto en una perspectiva general con el grupo de extensiones. Supongamos que tenemos una secuencia exacta de los grupos
$1 \to A \hookrightarrow E \to G \xrightarrow{p} 1$ donde $A$ es abelian (supone el wlog que $A \subset E$)
Entonces podemos definir una política generalizada de la conjugación de la acción de $G$ $A$ el siguiente: tomar un elemento $g \in G$, levantar a un elemento $\tilde{g}$ $E$ ( $p(\tilde{g})=g$ ) y, a continuación, para$a \in A$, $c_g(a):=\tilde{g}a\tilde{g}^{-1} \in A$ (este es un elemento de $A$ $A$ es normal.)
Hay dos cosas que debe comprobar:
- Esto es independiente de la elección de $\tilde{g}$
- Este es en realidad un grupo de acción
1)
Supongamos que $\tilde{g}$ $\tilde{g}'$ son dos ascensores de $g$, $x=\tilde{g}^{-1}\tilde{g}' \in A$ por la exactitud de la secuencia. Así como $A$ es abelian, para cualquier $a \in A$, obtenemos
$xa=ax$, lo que significa que $\tilde{g}^{-1}\tilde{g}'a=a\tilde{g}^{-1}\tilde{g}'$, entonces si multiplicamos con $\tilde{g}'^{-1}$ desde la derecha y con $\tilde{g}$ desde la izquierda, obtenemos $\tilde{g}a\tilde{g}^{-1}=\tilde{g}'a\tilde{g}'^{-1}$, lo que demuestra que la elección de $\tilde{g}$ no importa.
2)
A ver, que la identidad de $G$ actos trivialmente, tenga en cuenta que podemos elegir como nuestro ascensor de la identidad de $E$, ya que somos libres para elegir el levante por 1), el cual actúa trivialmente por la conjugación en $A$.
Si tenemos $g,h \in G$ $\tilde{g}$ $\tilde{h}$ son elevadores de $g$$h$, $\tilde{g}\tilde{h}$ es un ascensor de $gh$, con lo que obtenemos que para $a \in A$, $c_{gh}(a)=\tilde{g}\tilde{h}a(\tilde{g}\tilde{h})^{-1}=\tilde{g}\tilde{h}a\tilde{h}^{-1}\tilde{g}^{-1}=c_g(c_h(a))$, así que esto es en realidad la acción en grupo.
La idea detrás de esta construcción es que, en nuestra situación, podemos conjugar elementos de $A$ con elementos de $G$ en un bien definida, aunque los elementos en $G$ no son elementos en $E$ en cualquier forma canónica (como $G$ es sólo un cociente, no un subgrupo de $E$). Cómo se relaciona con la pregunta en la mano? Tenemos el siguiente resultado:
$A$ es un central subgrupo iff la conjugación de la acción de $G$ $A$ es trivial.
Prueba: es claro que la acción es trivial si $A$ es un central de los subgrupos. Supongamos que la acción es trivial. Deje $e \in E$,$eae^{-1}=c_{p(e)}(a)$, ya que, por definición, $e$ es un ascensor de $p(e)$, pero $c_{p(e)}(a)=a$ por supuesto.
Esto resuelve el problema, como $\mathrm{Aut}(\Bbb Z)=\Bbb Z/2\Bbb Z$, así que si tenemos una acción de $\Bbb Z/n \Bbb Z$, este es un homomorphism $\Bbb Z/n \Bbb Z \to \mathrm{Aut}(\Bbb Z)$ el cual debe ser trivial al $n$ es impar.
