¿Hace el % de inclusión $A \subset B$cerrado los operadores densamente definidos $A$ y $B$ $A=B$ implican?

Question

Deje $H,G$ ser una de Hilbert espacios y $A: \mathcal D (A) \subset G \to H \ $ ser un densamente definido por el operador con el dominio $\mathcal D (A) \ $. Asumir que hay un operador $B: \mathcal D (B) \subset G \to H$ que es una extensión de $A$. es decir,$\mathcal D (A) \subset \mathcal D (B) \ $.

Asumir tanto los operadores de $A,B$ están cerrados. Podemos concluir que el $A=B$?

Hasta ahora he intentado lo siguiente: Vamos a $x \in \mathcal D (B)$. Desde $\mathcal D (B)$ es densa hay una secuencia $(x_n)$ en ambos dominios tales que $x_n \to x$ y desde $B$ es cerrado tenemos $\lim_n Bx_n=Bx$. Dado que todos los $x_n$ también está en el dominio de $A$ llegamos a la conclusión de que $(Ax_n)$ converge. Por lo tanto $x$ está en el dominio de la clausura de $A$, pero este el mismo que el dominio de $A$ desde $A$ es cerrado.

Answer 1

Si $A : \mathcal{D}(A)\subset\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ es un densamente definido, cerrada, simétrica operador lineal en un complejo espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, entonces el adjoint $A^*$ es un densamente cerrado definido por el operador lineal, y uno tiene la gráfica de inclusión $\mathcal{G}(A)\subseteq\mathcal{G}(A^*)$, y la siguiente descomposición ortogonal en $\mathcal{H}\times\mathcal{H}$:

$$ \mathcal{G} (^*)=\mathcal{G}. (A)\oplus\mathcal{D}_{-}\oplus\mathcal{D}_{+}, $$

donde $\mathcal{D}_{\pm}$ son las restricciones de $A^*$$\mathcal{N}(A^*\pm iI)$, respectivamente. Por lo tanto, si $A$ es simétrica, pero no selfadjoint, a continuación, $A$ tiene cerrada la extensión de $A^*$.

Por ejemplo, definir el operador $Lf=-if'$ $\mathcal{D}(L)\subset L^2[0,1]$ compuesto de funciones $f \in L^2[0,1]$ que es igual a.e. absolutamente funciones continuas $f$ $f'\in L^2$ y $f(0)=f(1)=0$. $L : \mathcal{D}(L)\subset L^2\rightarrow L^2$ es un circuito cerrado, densamente definido, simétrica operador que no es selfadjoint. El dominio de $L^*$ es el mismo que el de $L$, excepto sin el extremo de restricciones. Tanto en $L$ $L^*$ están cerrados y densamente definido, e $L^*$ es una extensión adecuada de $L$.

Answer 2

La conjetura no es cierto.

Como contraejemplo, podemos elegir $G=H=C([-1,1])$, $\mathcal D(A)=C^1([-1,1])$, y $A$ como el operador de la derivada de $Af = f'$.

$\newcommand\span{\rm span}$ $\newcommand\abs{\,\mathrm{abs}}$ Entonces se puede demostrar que $A$ es un cerrado operador, consulte aquí. También, $\mathcal D(A)$ es denso en $G$. Vamos a construir una ampliación $B$$A$. Hemos creado $$\mathcal D(B)= D(A)+\span(\abs)\subset C([-1,1])$$ (con $\abs(x) = |x|$) que es estrictamente mayor que $\mathcal D(A)$.

Ahora podemos definir la $B$ a través de $$ B(f+\alpha\abs) = Af = f'. $$

Queda por demostrar que $B$ es un cerrado operador. Deje $g_n\in C^1([-1,1]),\alpha_n\in\mathbb R$ ser secuencias que $$ g_n+\alpha_n\abs\g\en C([-1,1]), \quad Ag_n = B(g_n+\alpha_n\abs) \h\en C([-1,1]). $$ Tenga en cuenta que$g_n(0)\to g(0)$$n\to\infty$. El uso de $$ g_n(x) = g(0)+\int_0^x (Ag_n)(s) \mathrm ds $$ se puede ver que $g_n$ es de Cauchy-Secuencia en $C([-1,1])$. Por lo tanto, no existe $g_0\in C([-1,1])$ tal que $g_n\to g_0$.

Ahora (con $Ag_n\to h$) podemos utilizar el closedness de $A$ y a la conclusión de que $Ag_0=h$ $g_0\in C^1([-1,1])$ . Esto implica $\alpha_n\to0$ y, por tanto,$g_0=g$. De ello se desprende que $g\in \mathcal D(B)$$Bg=h$.

Para resumir, hemos construido los operadores de $A,B$ la satisfacción de los requerimientos de la pregunta y con $A\subset B$, pero $A\neq B$.