Después de eliminar los múltiplos de $2$ y múltiplos de $3$ de lista de enteros de $1$ $N$, ¿por qué una quinta parte todavía de los números múltiplos de 5?

Question

Estaba leyendo una explicación acerca de que existe una infinidad de números primos que se inició como este:

Decir lo contrario hay un número finito de e $p$ es el más grande de prime. A continuación, vamos a $N$ ser el producto de todos los números primos, por lo $N=2\times3\times5\times7\times\ldots\times p$.

De los números en la lista de $1,2,3,4,5,\ldots,N-2,N-1,N$, la mitad de ellos son divisibles por $2$. Cruzamos los números de la lista, y tenemos $1,3,5,7,9$ y así sucesivamente. Luego de esos números en esta lista, un tercio de ellos son múltiplos de $3$.

Al principio pensé que el espaciado de los números que se haría de forma que no todos los 3 números consecutivos en la lista tendría exactamente 1 múltiplo de 3, pero pensaba que cada 3 consecutivos de números impares $2n+1,2n+3,2n+5$ debe tener un múltiplo de 3 porque $2n+1$ es $\equiv0,1$ o $2\pmod3$.

Bueno, luego de esta lista de sólo los números impares, se elimine todos los múltiplos de $3$, que ahora creo que es una tercera parte de los números.

A continuación, el libro afirma que de esta nueva lista (con todos los múltiplos de $2$ y todos los múltiplos $3$ tachado), exactamente una quinta parte de ellos son múltiplos de $5$. Ahora estoy atascado en cuanto a qué es exactamente una quinta parte de estos números son múltiplos de 5. Entiendo que una quinta parte de los números de la lista original, $1,2,3,\ldots, N$ son múltiplos de $5$, pero me pareció que el espaciado desigual de esta lista, con los múltiplos de $2$ $3$ eliminada, puede hacerlo de modo que no tenemos garantizado un múltiplo de $5$ cada cinco números consecutivos más. ¿Cómo sabemos que una quinta parte de los números en la nueva lista son múltiplos de $5$? (La explicación va a hacer esto con todos los números primos hasta $p$.)

Answer 1

Piensa en el patrón de números modulo $30$ (elegimos $30$ porque $30=2\times3\times5$).

Después de retirar múltiplos de $2$ y $3$ te queda

$30n+1$, $30n+5$, $30n+7$, $30n+11$, $30n+13$, $30n+17$, $30n+19$, $30n+23$, $30n+25$, $30n+29$

De estos números de $10$ a $2$ son múltiplos de 5 - el segundo un $30n+5$ y el % de una noveno $30n+25$. Ya que este patrón se repite, una quinta parte de los restantes números son múltiplos de 5, aunque no están espaciadas uniformemente entre los números restantes.

Answer 2

¿El libro de su lugar alguno de los requisitos en $N$? Vamos a decir $N = 30$. Entonces, después de cruzar el trivial múltiplos de $2$$3$, tenemos:

$$\requieren{cancel} \begin{eqnarray} 1 & 2 & 3 & \cancel{4} & 5 & \cancel{6} & 7 & \cancel{8} & \cancel{9} & \cancel{10} \\ 11 & \cancel{12} & 13 & \cancel{14} & \cancel{15} & \cancel{16} & 17 & \cancel{18} & 19 & \cancel{20} \\ \cancel{21} & \cancel{22} & 23 & \cancel{24} & 25 & \cancel{26} & \cancel{27} & \cancel{28} & 29 & \cancel{30} \\ \end{eqnarray}$$

Ignorar $1$ por el momento. Los números que no son tachadas en esta etapa se $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29$. Por lo $10$ ya está tachado en cuenta de ser un múltiplo de $2$$20$, mientras que $15$ es tachado por ser un múltiplo de $3$.

Tenemos once números de treinta no tachado. Dos de ellos son múltiplos de $5$, es decir, $25$ $5$ sí. Dos de once no es exactamente un quinto pero está cerca. Podemos hacer que la relación más si tomamos $N$ $34$ y tache $32, 33, 34$.