contraejemplo al teorema de Abel

Question

$D=\{z\in\Bbb C:|z|<1\}$. Deje $f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n(a_n,z\in\Bbb C)$ ser una potencia de la serie, el radio de convergencia de $f$ es $1$, $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n =s$.

1. Dar un poder a un serie de $f$ tal que $$\lim_{D\ni z\to1 }f(z)\ne s$$

2. Si $f$ es convergente en cada punto del círculo unidad, existe una potencia de serie $f$ ?

P. s. el problema está relacionado con el teorema de Abel

Answer 1

En 1916, Sierpiński construido un ejemplo de una potencia de serie con radio de convergencia igual a $1$, también convergen en cada punto del círculo unitario, pero con la propiedad de que $f$ es ilimitado cerca de $z=1$. La construcción no es fácil, y puede muy bien ser la más moderna y tal vez más accesible ejemplos. Una reimpresión de 1916, el papel puede ser encontrado aquí, p 282 (en francés).

Sierpiński del ejemplo se asienta tanto en sus preguntas.

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Agregado: Esta discusión sobre MO es muy relevante, y contiene una sencilla construcción de Sierpiński.