¿Cómo debo obtener el resultado$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac {e^n(2n)!}{(4n)^nn!}=\sqrt2$ $ sin depender de la fórmula de Stirling o del Teorema del Límite Central?
No tengo ni idea. ¿Puede alguien ayudarme?
Respuestas
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Esto se basa en el siguiente lema.
Lema: Si $f\in C^{1}[0,1] $ $$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)-n\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\frac{f(1)-f(0)}{2}$$ (prueba disponible aquí)
En el anterior lema es suficiente para asumir la integrabilidad de Riemann de $f'$.
Si $a_n$ es la secuencia en cuestión y $L$ es el límite deseado, a continuación, hemos \begin{align} \log L&=\log \lim_{n\to\infty}a_n\notag\\ &=\lim_{n\to \infty} \log a_n\notag \\ &=\lim_{n\to\infty} n\log\left(\frac{e}{4}\right)+\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\notag\\ &=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)-n\int_{0}^{1}f(x)\,dx\notag \end{align} donde $f(x) =\log(1+x)$. Usando el lema vemos que $$\log L=\frac{\log 2}{2}$$ and hence $L=\sqrt{2}$.
mengdie1982
Puntos
49
Solución
De acuerdo con la fórmula de Stirling,$$n!=\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot e^{\frac{\theta}{12n}}~~,(0<\theta<1)$ $
Por lo tanto,$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac {e^n(2n)!}{(4n)^nn!}=\lim_{n \to \infty}\frac{e^n\sqrt{4\pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} \cdot e^{\frac{\theta_1}{24n}}}{(4n)^n \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot e^{\frac{\theta_2}{12n}}}=\sqrt{2}.$ $
