Un patrón que aparece en los poderes de $\phi$

Question

\begin{align} \phi^5 &= 11,\underline{0}901699\cdots\\ \phi^6 &= 17,\underline{9}44271\cdots\\ \phi^7 &= 29,\underline{6}34441\cdots\\ \phi^8 &= 46,\underline{9}7871\cdots\\ \phi^9 &= 76,\underline{0}1315 \cdots\\ \phi^{10} &= 122,\underline{99}18\cdots\\ \phi^{11} &= 199,\underline{00}502\cdots\\ \phi^{12} &= 321,\underline{99}6894\cdots\\ \phi^{13} &= 521,\underline{00}191\cdots\\ \phi^{14} &= 842,\underline{99}881\cdots\\ \phi^{15} &= 1364,\underline{000}73\cdots\\ \phi^{16} &= 2206,\underline{999}54\cdots\\ \end{align}

Por qué hay un $0$ $9$ patrones en las potencias de la proporción áurea

Answer 1

Esto se desprende de la siguiente fórmula:

$$L_n = \varphi^n + \frac{1}{(-\varphi)^n}$$

Dónde $L_n$ son los Números de Lucas que son números enteros. Porque el término $\dfrac{1}{(-\varphi)^n}$ alterna entre un pequeño valor positivo y negativo, vemos que $\varphi^n$ debe estar apenas por debajo o por encima de un número entero - de ahí el $.0$ y $.9$ patrón.

Answer 2

$\phi$ es la raíz mayor de $$x^2-x-1=0$$

Su raíz conjugada es: $$\overline {\phi}=\frac {1-\sqrt 5}2\approx -0.61803$$

A partir de la cuadrática, vemos que la secuencia $$\{a_n\}=\{\phi^n +\bar {\phi}^n\}$$ satisface la recursión de Fibonacci: $$a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\quad a_1=1\quad a_2=3$$

Por supuesto $\bar {\phi}^n\to 0$ para grandes $n$ así que debemos tener eso $\phi^n$ es casi un número entero para grandes $n$ . ya que $\bar {\phi}^n$ signo alternativo vemos el patrón que usted ha notado.

Answer 3

No puedo dar una explicación de por qué el $0$ y $9$ aparecen patrones, pero puedo dar una explicación de por qué parece que las potencias convergen a números enteros.

Si visita el siguiente sitio web: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/phigits.html

Basándose en las propiedades especiales de $\phi$ (No lo demostraré aquí),

$$\phi^2 -\phi^{-2} = 3,\\\phi^3 -\phi^{-3} = 4,\\\phi^4 -\phi^{-4} = 7,\\\phi^5 -\phi^{-5} = 11\\\cdots$$

Debería ser evidente que, a medida que el exponente aumenta, el segundo término de cada expresión converge a cero, y toda la expresión converge a un número.