Símbolos de Christoffel en coordenadas de Kruskal-Szekeres

Question

¿Cuáles son los símbolos de Christoffel para el espaciotiempo de Schwarzschild, expresados en el Coordenadas de Kruskal-Szekeres ?

Answer 1

Los calculé hace poco y me costó bastante trabajo obtenerlos, así que pensé que podrían ser útiles para otros.

En lo sucesivo $m=1/2$ por lo que el horizonte está en $r=1$ es decir, $r$ está en unidades del radio de Schwarzschild. Las regiones exteriores de la extensión máxima del espaciotiempo de Schwarzschild se encuentran en $r>1$ que son las regiones I y III. El interior es $r<1$ regiones II y IV.

La versión de las coordenadas Kruskal-Szekeres que utilizaré son coordenadas nulas $(V,U)$ equivalente a la de Hawking y Ellis $(v'/\sqrt2,w'/\sqrt2)$ .

Incluso cuando se trabaja en las coordenadas de Kruskal-Szekeres, es conveniente expresar algunas cosas en términos de Schwarzschild $r$ que puede encontrarse utilizando \begin{equation} r = 1+W(-VU/e). \end{equation} Aquí la función $W$ es la rama real principal de la función W de Lambert, y $e$ es la base de los logaritmos naturales. También es conveniente definir \begin{equation} B = \frac{4}{re^r}. \end{equation}

La métrica es \begin{equation} ds^2 = B dVdU-r^2 d\Omega^2. \end{equation}

Los símbolos de Christoffel son los siguientes: \begin{align} \Gamma^V_{VV} &= (r^{-1}+r^{-2})Ue^{-r} \\ \Gamma^U_{UU} &= (r^{-1}+r^{-2})Ve^{-r} \\ \Gamma^\theta_{V\theta} = \Gamma^\phi_{V\phi} &= -UB/4r \\ \Gamma^\theta_{U\theta} = \Gamma^\phi_{U\phi} &= -UB/4r \\ % \Gamma^V_{\theta\theta} &= -Vr/2 \\ \Gamma^U_{\theta\theta} &= -Ur/2 \\ \Gamma^V_{\phi\phi} &= -(Vr/2) \sin^2\theta \\ \Gamma^U_{\phi\phi} &= -(Ur/2) \sin^2\theta \\ % \Gamma^\theta_{\phi\phi} &= -\sin\theta \cos\theta \\ \Gamma^\phi_{\theta\phi} &= \cot\theta \\ \end{align} Las obtuve calculándolas en el sistema de álgebra computacional Maxima y luego limpiando a mano las expresiones resultantes. Comprobé numéricamente mis versiones depuradas con los resultados brutos de Maxima para asegurarme de que eran correctos. Están implementadas en un proyecto de software de código abierto llamado karl .

La métrica y los símbolos de Christoffel se comportan mal en el $r=0$ y también en las singularidades de coordenadas en $\theta=0$ y $\pi$ .

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