Cómo encontrar a $\lim _{ n\to \infty } \frac { ({ n!) }^{ 1\over n } }{ n } $?

Question

Cómo encontrar a $\lim _{ n\to \infty } \frac { ({ n!) }^{ 1\over n } }{ n } $ ? He intentado tomando logaritmo a traer la expresión de la suma de formulario y, a continuación, trató de L'Hospital de la Regla.Pero no su trabajo.Por favor, ayuda!

Esto es lo que wolfram alpha está mostrando,pero no proporciona los pasos!

Por CIERTO, si alguien me puede decir un método sin utilizar la integración, me encantaría saber!

Answer 1

Nota

\begin{align}\frac{(n!)^{1/n}}{n} &= \left[\left(1 - \frac{0}{n}\right)\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots \left(1 - \frac{n-1}{n}\right)\right]^{1/n}\\ &= \exp\left\{\frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n-1} \log\left(1 - \frac{k}{n}\right)\right\} \end{align}

y la última expresión converge a

$$\exp\left\{\int_0^1\log(1 - x)\, dx\right\} = \exp(-1) = \frac{1}{e}.$$

Alternativa: Si usted quiere evitar la integración, considere el hecho de que si $\{a_n\}$ es una secuencia de números reales positivos tales que $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$,$\lim\limits_{n\to \infty} a_n^{1/n} = L$.

Ahora $\frac{(n!)^{1/n}}{n} = a_n^{1/n}$ donde $a_n = \frac{n!}{n^n}$. Así

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n+1}{n+1}\cdot\frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}\right)^n = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}.$$

Desde $\lim\limits_{n\to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$, $$\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{e}.$$

Por lo tanto, $$\lim_{n\to \infty} \frac{(n!)^{1/n}}{n} = \frac{1}{e}.$$

Answer 2

El Uso De Stolz Cezaro:

$$\ln \lim _{ n\to \infty } \frac { ({ n!) }^{ 1/n } }{ n } =\lim _{ n\to \infty } \ln \left( \frac { ({ n!) } }{ n^n } \right)^\frac{1}{n} =\lim _{ n\to \infty } \frac{\ln(n!)- n \ln(n)}{n} $$

Ahora SC tenemos $$\ln \lim _{ n\to \infty } \frac { ({ n!) }^{ 1/n } }{ n } =\lim _{ n\to \infty } \ln((n+1)!)- (n+1) \ln(n+1)-\ln(n!)+n\ln(n) \\= \lim _{ n\to \infty } \ln\frac{(n+1)!}{n!}- (n+1) \ln(n+1)+n\ln(n) \\=\lim _{ n\to \infty } -n\ln(n+1)+n\ln(n)=\ln \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\ln \frac{1}{e}$$

Answer 3

El uso de Stirling $n!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$ a ver que $$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n} =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}}{n^n}\right)^{1/n} =\lim_{n \to \infty} \frac1e \left({\sqrt{2\pi n}}\right)^{1/n}=\frac1e $$