Aceptar/rechazar para la distribución beta

Question

Estoy obligado a mostrar que los siguientes aceptar/rechazar algoritmh produce las observaciones de una distribución beta con parámetros de $\alpha$$\beta$.

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1. Generar $U_1$ $U_2$ iid uniforme(0,1) variables aleatorias. Set $V_1=U^{1/{\alpha}}$ $V_2=U_2 ^{1/{\beta}}$
2. Set $W=V_1+V_2$. Si $W\leq 1$,$X=V_1 /W$; de lo contrario, vaya al paso 1.
3. Entregar $X$

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Por lo tanto, necesito encontrar la distribución condicional del paso 2. Ahora tenemos:

$$P \left[X \leq x \right]= P \left[ V_1 /W \leq x | W \leq 1 \right]= \frac{P \left[V_1 /W \leq x \cap W \leq 1 \right]}{P \left[ W \leq 1 \right]}$$

Una transformación simple muestra que $V_1 \sim B \left( \alpha ,1 \right)$$V_2 \sim B \left(1, \beta \right)$, pero aparte de que no sé cómo proceder, ya que no puedo simplificar la fracción. De haber sabido que la distribución de $W=V_1+V_2$ cosas habrían sido más fáciles, pero este no es el caso aquí.

Puede usted por favor me ayude a calcular estas probabilidades? Gracias.

Answer 1

En primer lugar, debe ser una Beta($\alpha, 1$) y Beta($\beta, 1$). Buscar en el numerador.

$$P(V_1 / W \le x \cap W \le 1) = \int_0^1 \int_0 ^ {wx} f_{V_1}(v) f_{V_2}(w - v) \ dv \ dw,$$ el uso de una sustitución para obtener $f_{V_1, W}$$f_{V_1, V_2}$. Siguiente, el intercambio orden de integración

$$\int_0 ^ x \int_{v/x} ^ 1 \alpha v^{\alpha - 1} \beta (w - v)^{\beta - 1} \ dw \ dv = \int_0 ^ x \alpha v^{\alpha - 1}\left[(1 - v)^\beta - v^\beta \left(\frac{1 - x}{x}\right)^\beta\right].$$ Si $g(x)$ es la densidad de nuestra propuesta de rechazo sampler, a continuación, $g(x)$ es igual a la derivada de esta expresión, un factor de $P(W \le 1)$,

$$g(x) \propto \frac{d}{dx} \int_0 ^ x \alpha v^{\alpha - 1}\left[(1 - v)^\beta - v^\beta \left(\frac{1 - x}{x}\right)^\beta\right].$$

Por regla de Leibniz,

$$g(x) \propto \alpha \underbrace{x^{\alpha - 1} \left[(1 - x)^\beta - x^\beta \left(\frac{1 - x}{x}\right)^\beta\right]}_ {y= 0} + \int_0 ^ x \frac{d}{dx} \alpha v^{\alpha - 1}\left[(1 - v)^\beta - v^\beta \left(\frac{1 - x}{x}\right)^\beta\right] \ dv \\ \propto \int_0 ^ x v^{\alpha + \beta - 1} \frac{d}{dx} \left(\frac{1 - x}{x}\right)^\beta \ dv.$$ Esta última integral se puede evaluar para obtener

$$g(x) \propto x^{\alpha - 1}(1 - x)^{\beta - 1}.$$

Este argumento es válido para $x \in [0, 1]$ mientras que la densidad es trivialmente $0$ lo contrario. Este es el núcleo de una versión Beta($\alpha, \beta$) de distribución, por lo que la conclusión de la siguiente manera.