Es la matriz exponencial mapa inyectiva?

Question

Es la matriz exponencial $exp:M_n(\mathbb C) \to GL_n(\mathbb C)$ inyectiva? Puede ser que $e^A=I$ donde $A$ no es la matriz cero?

Answer 1

Toda la Mentira de los elementos del Grupo parecerse a $g=\exp(iA)$, para algunos "ángulo" $A$. Deja aquí pensar finito dimensionales y compactas, que están conectados a la unidad. El $i$ es algo redundante, esto es, físicos de la notación para hacer $A$ real autovalores si $g$ es unitaria.

Un buen ejemplo sería la rotación de grupo $SO(\mathbb{R},n)$ en cualquier dimensión. En tres dimensiones es obvio que cualquier rotación alrededor de $360°$ está representado por la unidad de elemento $I$.

En una dimensión, ha $SO(2)$ o, equivalentemente, $U(1)$ con elementos $e^{i\varphi}$ que actúa sobre el círculo de $S$ $\varphi=2\pi$ obtener $e^{i\varphi}=1$. Alex Youcis el ejemplo de actos en el producto cruzado de los círculos $S^n$, con, por ejemplo, $S^2$ topológicamente ser un toro.

Si el grupo es compacto como un colector, entonces creo que es bastante razonable que si se siguen trayectorias específicas, usted puede volver a la unidad.

Answer 2

Bien, permítanme responder a esto en la manera obvia. Si $n=1$, entonces esto es para preguntar si $\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}^\times$ es inyectiva. Una vez que vea cómo demostrar que este no es el caso, usted puede generalizar mediante el hecho de que

$$\exp(\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n))=\text{diag}(\exp(\lambda_1),\cdots,\exp(\lambda_n))$$