Distinguir $2^x$ de primeros principios.

Question

Estoy tratando de distinguir $2^x$ de primeros principios. Esto es lo que tengo hasta ahora:

\begin{align} f'(x) &= \underset{h\rightarrow 0}{\textrm{lim}} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\ \implies \frac{d2^x}{dx} &= \underset{h\rightarrow 0}{\textrm{lim}}\frac{2^{x+h}-2^x}{h}\ &= \underset{h\rightarrow 0}{\textrm{lim}}\frac{2^x(2^h -1)}{h} \end {Alinee el}

A partir de ese momento, como el límite del tipo 0/0, yo estaba pensando usar la regla de L'Hôpital, pero esta da\begin{equation} \frac{d2^x}{dx} = 2^x\frac{d2^h}{dh}\bigg\rvert_{h=0}. \end{equation}

No está seguro de cómo ir de allí.

Answer 1

A continuación, presentamos una manera de avanzar en los usos pre-cálculo sólo herramientas. Para ello, comenzamos con una imprimación.

IMPRIMACIÓN:

En ESTA RESPUESTA me mostró utilizando sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli que la función exponencial satisface las desigualdades

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{1+x\le e^x\le \frac{1}{1-x}}\tag 1$$

para $x<1$.

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Tenga en cuenta el $2^h=e^{h\log(2)}$. La aplicación de $(1)$ revela

$$1+x\le e^x\le \frac{1}{1-x}$$

para $x<1$.

Entonces, podemos escribir

$$\log(2)\le \frac{e^{h\log(2)}-1}{h}\le \frac{\log(2)}{1-h\log(2)}$$

dónde aplicar el teorema del encaje de los rendimientos de la codiciada límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{h\to 0}\frac{2^h-1}{h}=\log(2)}$$