Si a y b son relativamente primos y ab es un cuadrado, entonces a y b son cuadrados.

Question

Si $a$ y $b$ son dos enteros positivos relativamente primos tales que $ab$ es un cuadrado, entonces $a$ y $b$ son cuadrados.

Necesito demostrar esta afirmación, así que me gustaría que alguien criticara mi prueba. Gracias

Desde $ab$ es un cuadrado, el exponente de cada primo en la factorización primaria de $ab$ debe ser par. Como $a$ y $b$ son coprimos, no comparten ningún factor primo. Por lo tanto, el exponente de cada primo en la factorización de $a$ (y $b$ ) son pares, lo que significa que $a$ y $b$ son cuadrados.

Answer 1

Está claro que entiendes lo que pasa, pero podría ayudarte a comunicarlo con más precisión si utilizas símbolos. Por ejemplo, si $a$ tiene una factorización primaria $$a = p_1^{l_1} \cdot p_2^{l_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{l_n}$$ y $b$ tiene una factorización primaria $$b = q_1^{k_1} \cdot q_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot q_m^{k_m}$$ entonces $ab$ tiene una factorización primaria $$ab = p_1^{l_1} \cdot p_2^{l_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{l_n} \cdot q_1^{k_1} \cdot q_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot q_m^{k_m}.$$ No puede haber $p_i = q_j$ porque $a$ y $b$ son coprimos.

Porque $ab$ es cuadrado, todos los $l_i$ y $k_i$ son pares, completando la prueba.

Answer 2

Sí, basta con examinar la paridad de los exponentes de los primos. Como alternativa, y de forma más general, podemos utilizar gcds para explícitamente mostrar $\rm\,a,b\,$ son cuadrados. Escribir $\,\rm(m,n,\ldots)\,$ para $\rm\, \gcd(m,n,\ldots)\,$ tenemos

Teorema $\rm\ \ \color{#C00}{c^2 = ab}\, \Rightarrow\ a = (a,c)^2,\ b = (b,c)^2\: $ si $\rm\ \color{#0A0}{(a,b,c)} = 1\ $ y $\rm\:a,b,c\in \mathbb N$

Prueba $\rm\ \ \ \ (a,c)^2 = (a^2,\color{#C00}{c^2},ac)\, =\, (a^2,\color{#C00}{ab},ac)\,=\, a\,\color{#0A0}{(a,b,c)} = a.\, $ Asimismo, $\rm \,(b,c)^2 = b.$

El suyo es un caso especial $\rm\:(a,b) = 1\ (\Rightarrow\ (a,b,c) = 1)$ . La prueba anterior sólo utiliza las leyes universales de gcd (asociativa, conmutativa, distributiva), por lo que se generaliza a cualquier dominio/monoide de gcd (donde, generalmente, no es necesario que existan factorizaciones primarias, pero sí gcds).

Answer 3

La conclusión que sacó de $a$ y $b$ ser coprima no es cierto:

"Como a y b son coprimos, no comparten ningún factor primo. Por lo tanto, el exponente de cada primo en la factorización de a (y b) son pares"

Por ejemplo $6$ y $5$ son relativamente primos, y ninguno de sus exponentes es par.

Aquí hay una prueba válida utilizando algunos de sus razonamientos,

Considera los exponentes de los primos en la factorización de ambos $a$ y $b$ ya que $a$ y $b$ no comparten factores primos comunes, su producto no cambiará el valor de sus exponentes originales, por lo tanto, la única manera de que todos los exponentes sean divisibles por 2, es si originalmente eran divisibles por 2, lo que implica que ambos son cuadrados.