Me he encontrado con el problema anterior. Veo que $G'(x)=f'(x)f(\sqrt{\tan(f(x))})$ . Ahora bien, desde $f$ es una función par diferenciable, $f(-x)=f(x)$ y así $-f'(-x)=f'(x)$ y por lo tanto $f'(0)=0$ y por lo tanto podemos concluir $G'(0)=0.$ ¿Voy en la dirección correcta?
La respuesta no siempre es $B$ o bien. A través de La idea de Babak Sorouh , dejemos que $f(x) = \pi/2 - x^2$ . Entonces
$$ G'(x) = -2 x \sqrt{\tan\!\left(\pi/2-x^2\right)} $$
donde existe y
$$ \lim_{x \to 0} G'(x) = -2. $$
En primer lugar, hay que tener en cuenta que según la regla de Leibniz, $G'(x)=f'(x)\sqrt{\tan(f(x))}$ . En segundo lugar, comprar tomando $f(x)=x^{2n}$ como una familia de funciones pares con valor real, tenemos: $$G'(0)=0$$ por lo que A y C no pueden ser ciertas para un caso general bajo los supuestos del problema.
Esto no dice si B o D es cierto. Para eso, learner tenía una buena idea, pero como señala tetori puede depender de si añadimos una suposición de positividad de $f$ .
@JonasMeyer: Sí, exactamente. Ya que estamos ante una opción múltiple aquí, creo que no necesitamos probarlo teóricamente. Y, como señala tetori y que es totalmente cierto, parece que D parece correcta. Estoy pensando en una función par en la que $\sqrt{\tan(f(0))}$ es indefinido.
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Si $f(0)<0$ , $G$ no se define como función real.
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La diferenciación no es del todo correcta, es $f'(x)\sqrt{\tan(f(x))}$ .
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Muchas gracias señor por señalar el error. He corregido mi post.
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¿podría publicar la fuente de sus preguntas así?