Dejemos que $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ sea una función par diferenciable

Question

Me he encontrado con el problema anterior. Veo que $G'(x)=f'(x)f(\sqrt{\tan(f(x))})$ . Ahora bien, desde $f$ es una función par diferenciable, $f(-x)=f(x)$ y así $-f'(-x)=f'(x)$ y por lo tanto $f'(0)=0$ y por lo tanto podemos concluir $G'(0)=0.$ ¿Voy en la dirección correcta?

Answer 1

La respuesta no siempre es $B$ o bien. A través de La idea de Babak Sorouh , dejemos que $f(x) = \pi/2 - x^2$ . Entonces

$$G'(x) = -2 x \sqrt{\tan\!\left(\pi/2-x^2\right)}$$

donde existe y

$$\lim_{x \to 0} G'(x) = -2.$$

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que según la regla de Leibniz, $G'(x)=f'(x)\sqrt{\tan(f(x))}$ . En segundo lugar, comprar tomando $f(x)=x^{2n}$ como una familia de funciones pares con valor real, tenemos: $$G'(0)=0$$ por lo que A y C no pueden ser ciertas para un caso general bajo los supuestos del problema.

Answer 3

Dejar $H(x) := \int_0^x \sqrt{\tan t} \, \mathrm{d}t$ , $H'(x) = \sqrt{\tan t}$ .

Desde $G(x) = H(f(x)) - H(0)$ , $$G'(x) = H'(f(x))f'(x) - H(0) = \sqrt{\tan f(x)} f'(x)$$

Desde $f$ es una función par, $f'(0) = 0$ tenemos $G'(0) = 0$ .