Límite de la media geométrica de los términos de la serie.

Question

Supongamos que una serie infinita converge,$\sum a_n = S > 0,$ y$a_n > 0.$

Sé que (desigualdad aritmético-geométrica)$0 < (\prod_\limits{i=1}^n a_i)^{1/n} < (\sum_\limits{i=1}^n a_i) / n.$

Esto muestra que$\lim_\limits{n \to \infty}(\prod_\limits{i=1}^n a_i)^{1/n} = 0$ desde$\lim_\limits{n \to \infty}(\sum_\limits{i=1}^n a_i) / n = S/\infty = 0.$

quiero mostrar

ps

No puedo continuar porque$$\lim_{n \to \infty}n(\prod_{i=1}^n a_i)^{1/n} = 0.$ tiene un límite del límite superior igual a$0 < n(\prod_\limits{i=1}^n a_i)^{1/n} < (\sum_\limits{i=1}^n a_i)$

Sugerencias?

Answer 1

Aún puede usar la desigualdad AM-GM, pero se necesita un enfoque más sutil.

Considerar,

ps

La desigualdad AM-GM ahora muestra

ps

Tenemos$$nG_n = \left(\frac{n^n}{n!}\right)^{1/n}\left( n!\prod_{k=1}^na_k\right)^{1/n} = \left(\frac{n^n}{n!}\right)^{1/n}\left( \prod_{k=1}^nka_k\right)^{1/n}.$ como$$0 \leqslant nG_n \leqslant \left(\frac{n^n}{n!}\right)^{1/n}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^nka_k.$. Esto se desprende del segundo teorema del límite de Cauchy:

ps

Por el lema de Kronecker,

ps

y por el teorema de compresión se deduce que$(n^n/n!)^{1/n} \to e$ como$n \to \infty$.

Answer 2

Divida el producto en el medio y aplique una media aritmética-geométrica: $$ \ left (\ prod_ {k = 1} ^ {2n} a_k \ right) ^ {\ frac1 {2n}} = \ left (\ prod_ {k = 1} ^ {n} a_k \ right) ^ {\ frac1 {2n}} · \ left (\ prod_ {k = n +1} ^ {2n} a_k \ right) ^ {\ frac1 {2n}} \ le \ sqrt {\ frac1n \ sum_ {k = 1} ^ {n} a_k} · \ sqrt {\ frac1n \ sum_ {k = n +1} ^ {2n} a_k} $$ Now $$ (2n) \ left (\ prod_ {k = 1} ^ {2n} a_k \ right) \ le 2 · \ sqrt {S} · \ sqrt {\ sum_ {k = n +1} ^ {2n} a_k} $$ y por la propiedad Cauchy de series convergentes, el último factor converge a$0$.