¿Cómo evaluar la siguiente integral dos combinado con la función anti-trigonométrica y función trigonométrica?

Question

¿\begin{align} &\int_0^{\frac{\pi }{3}} {\arccos \frac{{1 - \cos x}}{{2\cos x}}dx} \ &\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\arccos \sqrt {\frac{{\cos x}}{{1 + 2\cos x}}} dx}. \end{align} hace unos días mi amigo e me pidió dos integrales, pero también no sabe cómo solucionarlo, alguien me puede mostrar cómo encontrar sus valores cerrados?

Answer 1

De hecho, son similares a los integrales de Coxeter, utilizamos Sangchul Lee resultado puede obtener\begin{align} \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\arccos \frac{{1 - \cos x}}{{2\cos x}}dx} & = \frac{{{11\pi ^2}}}{72},\ \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\arccos \sqrt {\frac{{\cos x}}{{1 + 2\cos x}}} dx} & = \frac{{{\pi ^2}}}{6}. \end{align} también podemos probar otros métodos!