¿Son todos espacios métricos de espacios topológicos?

Question

Creo que esto es cierto pero no puedo probarlo. Cualquier respuesta o sugerencias son bienvenidos.

He intentado empezar con $\mathbb{R}$ con métrico euclidiano. Podemos considerar $\tau :={\emptyset,\mathbb{R}}$ y obvio es una topología en $\mathbb{R}$. pero en general, hay muchos tipos diferentes de espacios métricos así que no sé cómo probarlo.

Answer 1

Como se dijo, la respuesta es 'no'. Un espacio métrico no es un espacio topológico. Sin embargo, cada espacio métrico da lugar a un espacio topológico en un lugar de manera natural. Este es el bien conocido de la construcción que tiene un espacio métrico $X$ y las construcciones de la topología en $X$ donde $U$ está abierto precisamente cuando para cada $x\in U$ existe alguna $e>0$ de manera tal que el open de bola de $B_e(x)$ está contenido en $U$.

Varios comentarios. En primer lugar, este proceso se pierde información. Por ejemplo, existe un número infinito de mediciones de $\mathbb R$ de manera tal que todas ellas generan la misma topología de abrir las bolas. Así, sólo conocer la topología inducida por no permite recuperar la métrica.

La construcción de mencionar es la que más claramente se entiende en el contexto de las categorías de espacios métricos y espacios topológicos. Deje $Met$ ser la categoría de todos los espacios métricos y continua de las asignaciones y deje $Top$ ser la categoría de espacios topológicos. La construcción de arriba es la parte del objeto de un functor $Met\to Top$, envía cualquier función entre espacios métricos a sí mismo se considera como una función entre el asociado de espacios topológicos. Ahora, este functor es trivialmente fieles, pero curiosamente es completa. Esta última propiedad dice que una función $f:X\to Y$ entre métrica del espacio es continuo a través de la costumbre, $\epsilon-\delta $ definición de si, y sólo si, la misma función $f$ considera ahora a estar entre los asociados espacios topológicos es continua (en el sentido de que la imagen inversa de un abierto es abierto).

Esta última observación nos muestra por qué la topología de abrir bolas es el más comúnmente utilizado. Se establece una fuerte relación entre espacios métricos y topológicos espacio. Sin embargo, esto resulta functor no es una equivalencia de categorías. Que aun no tienes a la derecha o izquierda adjunto. Este fracaso de la functor $Met\to Top$ a tener ningún tipo de inversa es una forma de medir (o ver) cómo las diferentes métricas de espacios de espacios topológicos.

Adición posterior: Como resulta, espacios métricos y espacios topológicos son equivalentes, si la métrica es interpretado de manera lo suficientemente amplia. Los detalles se pueden encontrar aquí, de alg. univ. (aparecer).

Answer 2

Sí. En un espacio métrico $(X,d)$, la métrica define los conjuntos abiertos como sigue: un conjunto de $U$ se considera abierto iff todos $x \in U$, existe un $\epsilon>0$ tal que $B(x,\epsilon) \subset U$. ($B(x,\epsilon) = {y \mid d(x,y)

Es necesario probar que efectivamente se trata de una topología.

Answer 3

Para cada métrica espacio $(X,d)$ allí es una estructura topológica natural inducida . Esta elección de topología $\tau$ está dada por la topología generada por las bolas abiertas. Es decir, ${ B(x,r) : x \in X, r > 0}$ forma una subbase para $\tau$.

La topología se denomina inducida porque los conjuntos abiertos determinados por $d$ y los conjuntos abiertos determinados por $\tau$ de acuerdo.