¿Existen números enteros distintos de $10$ tales que la suma de cualquier $9$ de ellos es un cuadrado perfecto?
Respuestas
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Supongamos que tenemos tales enteros $a_1, \ldots, a_{10}$. Deje $a=\sum a_i$. Entonces tenemos que los números de $b_i:=a-a_i$ son cuadrados. En otras palabras, necesitamos $10$ distintas plazas $b_i$ tales que su suma es igual a $$\sum_{i=1}^{10} b_i=\sum_{i=1}^{10} (a-a_i)=9a.$$ Esto no es más que exigir la suma de diez plazas para ser un múltiplo de $9$. Tenga en cuenta que para $m\in\mathbb Z$ tenemos $m^2\equiv 0, 1, 4\text{ or }7\pmod 9$. La suma de tres números de $\in\{0,1,4,7\}$ puede ser cualquier residuo de la clase de mod $9$. Por lo tanto: Seleccione $7$ arbitrarias distintas plazas $b_1, \ldots, b_7$. A continuación, seleccione tres distintas plazas $b_8,b_9,b_{10}$ tal que $b_8+b_9+b_{10}\equiv -(b_1+\ldots+b_7)\pmod 9$. Por último vamos a $a_i=\frac19\sum_{j=1}^{10} b_j - b_i$.
Ejemplo: Vamos a $b_i=i^2$$i=1, \ldots 7$. A continuación,$-(b_1+\ldots+b_7)\equiv 4\pmod 9$. Así que queremos obtener $4\pmod 9$ como suma de tres números de $\in\{0,1,4,7\}$. Esto es posible (sólo) como $0+0+4$. Así que podemos tomar $b_8=9^2$, $b_9=12^2$, $b_{10}=11^2$. A continuación,$a=\frac19\sum b_i=54$, y se llega a $$(a_1, \ldots,a_{10})=(53,50,45,38,29,18,5,-27,-90,-67). $$
En caso de que no te gusta el aspecto de los números negativos - que se producen aquí sólo porque el cuadrado más grande supera $\frac{10}9$ de la media de la plaza. Si uno empieza con números más grandes, esto no tiene que ser el caso. He aquí una muy estrictamente positivo ejemplo: $$(113573, 111570, 109565, 107558, 105549, 103538, 101525, 117573, 121565, 123558). $$
Stephan Aßmus
Puntos
16
EEEEDDDDDDIIIIITTTTTTT: esto no es una respuesta a la pregunta tal y como está. Mi esperanza era convencer a la OP a poner en un cierto esfuerzo en los casos más simples de la pregunta antes de saltar a diez números. Esto en realidad no trabajo, por supuesto.
Aquí están algunas maneras de hacer esto por tres distintos números, la adición de cualquier par (en la misma fila) da un cuadrado:
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30 19 6
44 20 5
47 34 2
48 33 16
60 21 4
66 34 15
69 52 12
70 51 30
78 22 3
86 35 14
90 54 10
92 52 29
94 75 6
95 74 26
96 73 48
98 23 2
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Aquí están algunas maneras de hacer esto por cuatro números, agregar los tres en la misma fila y se obtiene un cuadrado:
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58 41 22 1
78 57 34 9
89 66 41 14
103 59 34 7
113 86 57 26
116 68 41 12
124 97 68 4
126 97 66 33
130 61 34 5
136 88 32 1
144 88 57 24
145 70 41 10
151 99 39 6
152 121 88 16
154 121 86 49
157 130 37 2
159 63 34 3
159 99 66 31
167 134 99 23
169 134 97 58
176 72 41 8
177 90 57 22
183 123 55 18
189 158 53 14
190 65 34 1
191 123 86 47
193 160 88 8
194 101 66 29
197 162 125 2
199 162 123 39
200 136 64 25
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Lissome
Puntos
31
Creo que la respuesta es sí. Aquí está una idea simple:
Considere el sistema de ecuaciones
$$S-x_i= y_i^2 1 \leq i \leq 10\,,$$ donde $S=x_1+..+x_n$.
Deje $A$ ser los coeficientes de la matriz de este sistema. A continuación, todas las entradas de $I+A$ se $1$, lo $\rank(I+A)=1$. Esto demuestra que $\lambda=0$ es un autovalor de a $I+A$ de la multiplicidad $n-1$, y por lo tanto el resto de autovalor es $\lambda=tr(I+A)=n.$
Por lo tanto los autovalores de a$A$$\lambda_1=...=\lambda_{n-1}=-1$$\lambda_n=(n-1)$. Esto demuestra que $\det(A)=(-1)^{n-1}(n-1)$.
Ahora elegir distintos $y_1,..,y_n$ enteros positivos, cada divisible por $n-1$. Entonces, por la regla de Cramer, todas las soluciones del sistema
$$S-x_i= y_i^2 1 \leq i \leq 10\,,$$
son enteros (ya que al calcular el determinante de a $A_i$, se puede tirar de un $(n-1)^2$ a partir de la i-ésima columna, y los que se quedan con una matriz con el entero de las entradas).
La única cosa que queda por hacer es probar que $x_i$ son parejas distintas. Deje $i \neq j$. Entonces
$$S-x_i =y_i^2 \,;\, S-x_j=y_j^2 \Rightarrow x_i-x_j=y_j^2-y_i^2 \neq 0 \,.$$
Comentario Se puede demostrar fácilmente que $\det(A)=(-1)^{n-1}(n-1)$ por la reducción de la fila: Agregar todas las demás filas a la última, obtener un $(n-1)$ factor común de que uno, y el n restar la última fila de cada una de las restantes.
