Comprender el paradigma de la elección de dos etapas

Question

En Manski - la estructura de La utilidad aleatoria de los modelos en el siguiente ejemplo se propone:

Considere la alternativa de establecer el espacio de un = $(\alpha,\beta,\gamma)$ con el atributo de la representación: $X = \begin{bmatrix} & \alpha & \beta & \gamma & \cr x_1 & 1 & 1 & 2 \cr x_2 & 0.5 & -0.5 & -1 \end{bmatrix}$.

Los individuos o los tomadores de decisiones $\sigma$ $\tau$ se caracteriza por los atributos: $S = \begin{bmatrix} \sigma & \tau \cr 1 & 0 \end{bmatrix}$.

Por último la función $w(x,s)$ que define la utilidad de la utilidad de la maximización de los agentes de $\sigma$ $\tau$ está dado por $w(x,s) = x_1 + x_2\cdot s$.

El objetivo es calcular las probabilidades: $P_t(a\in^c C)$ cual es la probabilidad de que una persona que toma decisiones $t\in T$ se elija la alternativa $a$ a partir de una opción posible establecer $C$. Por la definición de la alternativa de espacio de un uno puede pensar de $C$ como cualquier no-vacío es subconjunto de cualquier orden particular de las alternativas $\alpha, \beta$$\gamma$. Por tanto, no habrá muy pocas posibilidades de elección de los conjuntos de $C$, de la que toma decisiones puede elegir. Manski denota la opción de configurar el espacio, el conjunto de todas las posibles no vacía de subconjuntos de a$C$, $\Gamma$ $T$ representa a la población de todos los posibles tomadores de decisiones.

Para calcular el $P_t(a\in^c C)$ adicional a la información que se da. La distribución conjunta $M_{\Gamma T}((C,t))$ de la posible elección de los conjuntos de $C$ y los tomadores de decisión a $t$ está dada por:

$M_{\Gamma T}((\alpha,\beta,\gamma),\sigma) = \frac{2}{36}$ para cada uno de los seis ordenó la elección de los conjuntos cuyos elementos son de $\alpha,\beta$ $\gamma$

$M_{\Gamma T}((\alpha,\beta),\sigma) = \frac{1}{12}$ para cada uno de los dos ordenado elección de los conjuntos cuyos elementos son de $\alpha$ $\beta$

$M_{\Gamma T}((\alpha,\beta,\gamma),\tau) = \frac{1}{36}$ para cada uno de los seis ordenó la elección de los conjuntos cuyos elementos son de $\alpha,\beta$ $\gamma$

$M_{\Gamma T}((\alpha,\beta),\tau) = \frac{2}{12}$ para cada uno de los dos ordenado elección de los conjuntos cuyos elementos son de $\alpha$ $\beta$

Para calcular las probabilidades de $P_t(a\in^c C)$ para el caso de que la información de $x_2$ no se observa en primer lugar debemos calcular el vector $W_{Ct}$ que contiene las utilidades de las alternativas contenidas en $C$ para un tomador de decisión $t$. En este caso, esto dará como resultado:

$\bar W_{(\alpha,\beta,\gamma),\sigma} = \begin{pmatrix} 1.5\\ 0.5\\ 1\end{pmatrix}$ $\bar W_{(\alpha,\beta,\gamma),\tau} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$

Para el cálculo de la probabilidad de $P_t(a\in^c C)$ Manski, da las siguientes dos fórmulas:

$(1) \ P(\bar W_{Ct} | r_{Co},s_{to}) = \frac{ \sum_{ (\tilde C, \tilde t):r_{\tilde Co} = r_{Co}, s_{\tilde to} = s_{to}, W_{\tilde C\tilde t} = \bar W_{Ct} } M_{\Gamma T}((\tilde C,\tilde t))}{\sum_{ (\tilde C, \tilde t):r_{\tilde Co} = r_{Co}, s_{\tilde to} = s_{to}} M_{\Gamma T}((\tilde C,\tilde t))}$

$(2) \ P_t(a\in^c C) = \sum_{\bar W_{Ct}:\bar w_{at}\ge \bar w_{\tilde at}, \tilde a\in C}P(\bar W_{Ct} | r_{Co},s_{to})$

Así que, claramente, con el fin de calcular el $P_t(a\in^c C)$ tenemos que calcular (1) en primer lugar. Esto se realiza mediante la suma de más de $M_{\Gamma T}((\tilde C,\tilde t))$ para todos los posibles elección problemas $(\tilde C,\tilde t)$ para valores particulares de $r_{\tilde Co},s_{\tilde to}$ $W_{\tilde C\tilde t}$ es decir $r_{Co},s_{to}$$\bar W_{Ct}$. Para ello tenemos que considerar la definición de $r_{Co}$$s_{to}$. Manski propone que $X$ $S$ se dividen entre observables y no observables como el $X = [X_o,X_u]$ $S = [S_o,S_u]$ donde la "o" dona la observables, y la "u" no observable parte. Ahora podemos escribir $X_o$ $X_0 = (x_{ao}, \forall \ a\in$ un). La definición de $r_{Co}$ es ahora dado por $r_{Co} = (x_{ao}, \forall \ a\in C)$. Así que la única diferencia entre el $X_o$ $r_{co}$ es el conjunto en el que $x_{ao}$ está definido, ya que $r_{Co}$ considera todos los posibles elección de los conjuntos de $C$, $X_o$ sólo define $x_{ao}$ sobre el espacio alternativo de una.

Ahora mi dilema: Ya que la necesito para calcular (1) para calcular (2), tengo que resumir el conjunto de probabilidades de $M_{\Gamma T}((\tilde C, \tilde t))$ sobre los posibles valores de $r_{Co}, s_{to}$$\bar W_{Ct}$. Puesto que el valor de $s_{to}$ está dado por los enteros $1$ o $0$ $\bar W_{Ct}$ es sólo un posible utilidad-vector dependiendo de la elección-establecer $C$ actualmente estamos buscando, solo necesito averiguar lo $r_{Co}$ es en realidad. La definición es bastante clara, pero para este ejemplo no estoy muy seguro. Desde $x_2$ no se observa pensé $r_{Co}$ como un vector de la observó los resultados de $x_1$, es decir, $r_{Co} = (1.5,0.5,1)$$C = (\alpha,\beta,\gamma)$. Pero si considero que $r_{Co}$ en este cálculo no funcionará ya que (1) siempre será 1, y la suma de (2) puede ser mayor que 1, que es, por supuesto, no es posible.

Estoy atascado con este problema un par de días y ahora cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

Esta sería mi respuesta para mi pregunta, si alguien me preguntara. Sin más conocimiento, lo que los solotion vería, aunque yo ya la solución, porque es parte de las anteriores, de papel (página 237), yo diría como:

(va a ser muy larga la respuesta, pero en mi opinión es necesario para explicar todos los detalles)

La solución, para los conjuntos de las tres alternativas, es decir, para todos los conjuntos ordenados compuesto de $\alpha,\beta$ $\gamma$ está dado por Manski con:

$P_\sigma(\alpha\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=\frac{1}{2}$

$P_\sigma(\beta\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=\frac{1}{2}$

$P_\sigma(\gamma\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=0$

$P_\tau(\alpha\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=0$

$P_\tau(\beta\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=0$

$P_\tau(\gamma\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=1$

Es obvio que la suma de $\sum_{a\in C}P_t(a\in^c C)$ tiene que ser $1$ cualquier $C$ y cualquier $t\in T$.

Si calculamos la utilidad de los vectores $W_{Ct}$ cualquier $C$$t\in T$, es decir, para cualquier ordenó opción set $C$ compuesta de tres alternativas de $\alpha,\beta$ $\gamma$ y el orden de elección de sistema $C$ compuesta de las dos alternativas $\alpha$ $\beta$ nos pondremos:

$\bar W_{(\alpha,\beta,\gamma),\sigma} = \begin{pmatrix} 1.5\\ 0.5\\ 1\end{pmatrix}$ para cualquier combinación de $(\alpha,\beta,\gamma)$ $t=\sigma$

$\bar W_{(\alpha,\beta),\sigma} = \begin{pmatrix} 1.5\\ 0.5\end{pmatrix}$ para cualquier combinación de $(\alpha,\beta)$ $t=\sigma$

$\bar W_{(\alpha,\beta,\gamma),\tau} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$ para cualquier combinación de $(\alpha,\beta,\gamma)$ $t=\tau$

$\bar W_{(\alpha,\beta),\tau} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}$ para cualquier combinación de $(\alpha,\beta)$ $t=\tau$

Si echamos un vistazo a $t=\sigma$, sin más conocimientos, sino la información que una persona que toma decisiones es la maximización de la utilidad del agente, podríamos pensar que, en cualquier caso, es decir, para cualquier elección set $C$ de dos o tres alternativas, el agente siempre optar por la alternativa $\alpha$.

Del mismo modo que el agente $t=\tau$ elegiría $\gamma$, en cualquier caso, en el que se recoge una alternativa de conjunto compuesto de tres alternativas. Para el caso en el que se recoge las alternativas de un conjunto compuesto de dos alternativas sería indiferente entre $\alpha$$\beta$.

Si nos fijamos en la fórmula (1) estas ideas se traducen en:

$P(\bar W_{(\alpha,\beta,\gamma),\sigma} | r_{(\alpha,\beta,\gamma),o}, s_{\sigma,o})=\frac{\frac{2}{36}}{6\frac{2}{36}} = \frac{1}{6}$ para cualquiera de los seis posibles ordenamientos de los vectores $\bar W_{(\alpha,\gamma,\beta),\sigma}$, es decir, para cada uno de los seis ordenó la elección de los conjuntos de $C$ cuyos elementos son de $\alpha,\beta$$\gamma$.

$P(\bar W_{(\alpha,\beta),\sigma} | r_{(\alpha,\beta),o}, s_{\sigma,o})=\frac{\frac{1}{12}}{2\frac{1}{12}} = \frac{1}{2}$ para cualquiera de los dos posibles ordenamientos de los vectores $\bar W_{(\alpha,\gamma),\sigma}$, es decir, para cada uno de los dos ordenado elección de los conjuntos de $C$ cuyos elementos son de $\alpha$$\beta$.

Del mismo modo obtenemos

$P(\bar W_{(\alpha,\beta,\gamma),\tau} | r_{(\alpha,\beta,\gamma),o}, s_{\tau,o})=\frac{2\frac{2}{36}}{6\frac{2}{36}} = \frac{1}{3}$

$P(\bar W_{(\alpha,\beta),\tau} | r_{(\alpha,\beta),o}, s_{\tau,o})=\frac{2\frac{1}{12}}{2\frac{1}{12}} = 1$

Comentarios: la razón de La $2$ ser parte en el denominador de $P(\bar W_{(\alpha,\beta,\gamma),\tau} | r_{(\alpha,\beta,\gamma),o}, s_{\tau,o})$ $P(\bar W_{(\alpha,\beta),\tau} | r_{(\alpha,\beta),o}, s_{\tau,o})$ es, que sólo observamos tres distintos vectores de $W_{C,\tau}$, a pesar de que hemos seis órdenes diferentes de la serie elegida $(\alpha,\beta,\gamma)$. Por ejemplo, para los dos casos $C=(\alpha,\beta,\gamma)$$C'=(\beta,\alpha,\gamma)$, vamos a observar el mismo vector $W_{C,\tau}$. Ya que, por la fórmula (1), tenemos que contar cómo a menudo observamos $W_{\tilde C, \tilde t} = \bar W_{C,t}$, esto es de lo $2$ en el denominador se hace esencialmente.

Si calculamos (2), para un cierto tamaño de $C$ (como $|C|=3$), tenemos que considerar todos los valores de $P(\bar W_{C,t} | r_{C,o}, s_{t,o})$ cuyo valor $\bar w_{a,t}$ es al menos tan grande como el de todos los otros valores de $\bar w_{\tilde a, t}, \tilde a\in C$. Si hacemos eso, vamos a obtener los siguientes valores:

(todas las probabilidades, será el mismo para cualquier pedido de $(\alpha,\beta,\gamma)$. El "$\in^c (\alpha,\beta,\gamma)$" sólo presenta el conjunto actualmente estamos buscando)

$P_\sigma(\alpha\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=6\frac{1}{6} = 1$

(hay seis diferentes casos de $W_{C,\sigma}$ en la que el valor de $\bar w_{\alpha,\sigma}$ es mayor que todos los otros valores )

$P_\sigma(\beta\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=0$

$P_\sigma(\gamma\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=0$

$P_\tau(\alpha\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=0$

$P_\tau(\beta\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=0$

$P_\tau(\gamma\in^c (\alpha,\beta,\gamma))=3\frac{1}{3} = 1$

(sólo hay tres distintos casos de $W_{C,\tau}$, por lo tanto el $3$ )

Para $|C|=2$ nos pondremos:

$P_\sigma(\alpha\in^c (\alpha,\beta))=2\frac{1}{2} = 1$

$P_\sigma(\beta\in^c (\alpha,\beta))=0$

Ahora el forumla (2) parece fallar por $t=\tau$, ya que la condición impuesta no sólo las cuentas para los casos en que $\bar w_{a\tau}$ es mayor que $w_{\tilde a,\tau}$, pero también si la igualdad entre esas dos cantidades es cierto. En este caso particular, $|C|=2,t=\tau$ todos los valores de $w_{\tilde a, \tau}, \tilde a\in C$ son iguales. Así, por la definición de (2) nos cuenta todos los casos de $P(\bar W_{(\alpha,\beta),\tau} | r_{(\alpha,\beta),o}, s_{\tau,o})$ para cada alternativa. Aquí sólo observamos un posible valor de $\bar W_{C,\tau}$, es decir, $W_{(\alpha,\beta),\tau}=W_{(\beta,\alpha),\tau}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}$. (2) se obtiene:

$P_\sigma(\alpha\in^c (\alpha,\beta))=1$

$P_\sigma(\beta\in^c (\alpha,\beta))=1$

,ya que la condición "$\bar w_{a,\tau} \ge w_{\tilde a, \tau}, \tilde a\in C$" es cierto para ambos casos, es decir, por la suma de $a=\alpha$$a=\beta$. Pero esto no puede ser verdad porque lo $\sum_{a\in (\alpha,\beta)}P_\tau(a\in^c (\alpha,\beta))=2\ne 1$. Sugiero el siguiente trabajo de cerca:

En lugar de (2) sugiero que podríamos utilizar

$(3) P_t(a\in^c C) = \sum_{\bar w_{a,t} > w_{\tilde a, t}, \tilde a\in C}P(\bar W_{C,t}|r_{Co},s_{to}) + \sum_{\bar w_{a,t} = w_{\tilde a, t}, \tilde a\in C}\frac{P(\bar W_{C,t}|r_{Co},s_{to})}{2}$

Esta ecuación, en mi optinion, mejor dirección de la emisión de un agente de estar indiferente entre todas las alternativas posibles. El ex mencionado problema, dejando a todos los otros resultados sin cambios, sería, por el uso de (3) en lugar de (2):

$P_\sigma(\alpha\in^c (\alpha,\beta))=\frac{1}{2}$

$P_\sigma(\beta\in^c (\alpha,\beta))=\frac{1}{2}$