$X/\sim$ es Hausdorff si y sólo si es cerrado $\sim$ $X \times X$

Question

$X$ es un espacio de Hausdorff y $\sim$ es una relación de equivalencia.

Si el mapa del cociente está abierto, $X/ \sim$ es un espacio de Hausdorff si y solamente si $\sim$ es un subconjunto cerrado del producto espacio $X \times X$.

La necesidad es obvia, pero no sé cómo probar el otro lado. $\sim$ Es un subconjunto cerrado del producto espacio $X \times X$ $\Rightarrow$ $X/ \sim$ es un espacio de Hausdorff. Los consejos y comentarios serán apreciados.

Answer 1

Puesto que el mapa $\pi:X\to X/\sim$ está abierto, está claro que el mapa $g:X^2\to (X/\sim)^2$ de $g(x,y)=(\pi(x),\pi(y))$ es abierto. Lo que pretendemos es que el $g(X^2-\sim)=(X/\sim)^2-\Delta_{X/\sim}$. De hecho, si $x\nsim y$ y $\pi(x)\ne\pi(y)$ que nos dice que $g\left(X^2-\sim\right)\subseteq (X/\sim)^2-\Delta_{X/\sim}$. Dicho esto, si $(\pi(x),\pi(y))\notin\Delta_{X/\sim}$ y $\pi(x)\ne \pi(y)$ que $x\nsim y$ que $(x,y)\in X^2-\sim$ y $g(x,y)=(\pi(x),\pi(y))$. Así, $g(X^2-\sim)=(X/\sim)^2-\Delta_{X/\sim}$ como. Pero, puesto que está abierto por supuesto $X^2-\sim$ y $g$ es un mapa abierto tenemos que $(X/\sim)^2-\Delta_{X/\sim}$ está abierto, y por lo tanto es cerrado $\Delta_{X/\sim}$. Esto nos da $T_2$ ness.

Answer 2

Deje $R$ ser el subconjunto de $X \times X$, lo que da la equivalencia de la relación de $\sim$, y deje $f\colon X \to X/{\sim}$ ser el cociente mapa. Deje $x, y \in X$ ser puntos no equivalentes en virtud de la relación, es decir,$(x, y) \notin R$. Desde $R$ es cerrado y $X \times X$ tiene el producto de la topología, existen abrir conjuntos de $U, V$ $X$ tal que $(x, y) \in U \times V$ $U \times V$ no cumple $R$. Se puede separar $f(x)$$f(y)$$U$$V$? Recuerde que $f$ es asumido como una carta abierta.

[Esto se parece mucho a la prueba del hecho de que Alex está utilizando: un espacio que se $X$ es Hausdorff si y solo si la diagonal es cerrado en $X \times X$.]

Answer 3

Deje $\pi:X\to X/\!\!\!\sim\;$ denotar el mapa de proyección asociados con $\sim$. (Esto es, para cualquier $x\in X$, $\pi(x)$ es el $\sim$-clase de equivalencia que $x$ pertenece.) Deje $\nsim\; \subseteq X \times X$ ser la abreviatura para el complemento de $\;\;\sim\;\;$$X \times X\;$, es decir,$\nsim\;\;=\;(X \times X\;) \;\;-\; \sim\;$.

Supongamos que $\pi(x) \neq \pi(y)\;$. (Aquí estoy confiando en el hecho de que, desde el $\pi$ es surjective, cualquier elemento $\widetilde{z}\in X/\!\!\!\sim\;$ puede ser escrita en la forma $\pi(z)$, para algunas de las $z \in X$.) Debemos mostrar que existen abrir conjuntos de $U_{\pi(x)}, U_{\pi(y)} \subseteq X/\!\!\!\sim\;$ tal que ${\pi(x)} \in U_{\pi(x)}$, ${\pi(y)} \in U_{\pi(y)}$, y $U_{\pi(x)} \cap U_{\pi(y)} = \varnothing\;$.

Por supuesto, $\;\sim\; \subseteq X \times X$ es cerrado, por lo $\nsim\; \subseteq X \times X$ está abierto. Por lo tanto, no existen abrir los vecindarios $N_x$$N_y$$x$$y$, respectivamente, tales que $(x,\;y)\in N_x \times N_y \subseteq$$\;\;\nsim\;$. (Esto es debido a que la familia de todos los pares de productos de abrir los subconjuntos de a $X$ es una base para la topología producto en $X \times X$.)

Para cualquier $v, w \in X$,

$$ (v,\;w) \;\en \;\nsim \;\;\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\;\; \pi(v) \neq \pi(w)\;\;. $$

Por lo tanto,

$$ N_x \times N_y \subseteq \;\;\nsim\;\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\; \forall (v, w) \en N_x \times N_y \;[\pi(v) \neq \pi(w)] \;\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;\; \pi[N_x] \cap \pi[N_y] = \varnothing $$

Además, desde el $\pi$ es abierto (por supuesto), la imagen fija $\pi[N_x], \pi[N_y] \subseteq X/\!\!\!\sim\;$ están abiertos los barrios de ${\pi(x)}$${\pi(y)}$, respectivamente. Por lo tanto, $\pi[N_x]$ $\pi[N_y]$ son los que desee abrir los vecindarios $U_{\pi(x)} \ni {\pi(x)}, U_{\pi(y)} \ni {\pi(y)}$.

Answer 4

Comenzar con un $(x,y)$ $x$ y $y$ no. Entonces, como la relación es reflexiva, que contiene la diagonal. Ahora, la relación se cierra, su complemento es abierto y existe un barrio de $(x,y)$ que no la intersecta. Al pensar acerca de lo que una base para que el producto podría ser topología...