Identificación de topología

Question

Cual de las siguientes son topología de $\mathbb R$?

Yo creo que 7,8 mientras la topología, que yo creo que puedo entender por qué. Mientras que para 9,10, yo creo que ahí está la trampa, lo que les impide ser una topología, pero no tengo ni idea de por qué no. Sospecho que se han equivocado al considerar infinito de la unión de ellos. Y tal vez, estoy completamente equivocado. Por favor me ayudan a distinguir.

Answer 1

¿Cuál es

Answer 2

Todos los de la "topologías" contener$\mathbb{R}$$\phi$, entonces lo que hay que comprobar es que si usted toma arbitraria de la unión de conjuntos en el $\tau$, el resultado es también en $\tau$, y lo mismo para finito de las intersecciones.

Como una pista sobre cómo abordar la pregunta, te diré que la única real topologías se $9$$10$. Así que usted debe demostrar que $\tau_9,\tau_{10}$ son cerrados bajo arbitraria sindicatos y finito intersecciones, y para cada uno de los demás, tratar de encontrar conjuntos de cuya unión (o intersección finita) no pertenece a la $\tau_x$

Edit: Previa petición, he aquí algunos detalles más para $9)$:

Tomar cualquier colección de conjuntos de $(-r_i,r_i),[-r_j,r_j]$ $i \in I$, $j \in J$ algunos de indexación de los conjuntos. Nuestro objetivo es demostrar que $U = \cup_{i\in I} (-r_i,r_i)\cup_{j\in J} [-r_j,r_j]$ está contenido en $\tau_9$. ¿Qué sucede si uno de $\{r_i : i \in I\},\{r_j:j \in J\}$ es ilimitado? (Fácil.) ¿Qué sucede lo contrario? (Más.)