Cualquier contraejemplo a Weierstrass-Stone Thm en espacios no compactos

Question

Me gustaría mostrar, por curiosidad, realmente, que de Weierstrass-Piedra Thm falla cuando el subrayado espacio no es compacto. Específicamente, creo que el $C_b(R), $ el espacio delimitado funciones continuas en $R $ debería ser suficiente.

A este propósito, recuerdo de mi estudiante de posgrado días que $\ell^\infty $ no es separable de ella, no es demasiado complicado de demostrar que, por ejemplo, $D=\{f:[1, \infty) \mapsto C\} $ donde $f $ continua y acotada es también no separable.

En este punto, la única diferencia con la declaración de la Weierstrass-Piedra Thm es que mi D es no separable en $C_B(R) $ en lugar de un denso. Pero, mi pensamiento es que si puedo encontrar un álgebra de funciones que separa los puntos en $C_b(R), $, entonces yo debería estar en el negocio..

Por desgracia, no puedo ver cómo se cierra el argumento o encontrar un ejemplo que muestra claramente que W-S. Teorema de falla en el incumplimiento de acuerdos.

Cualquier ayuda se agradece.

Maurice

Answer 1

Tome $C(0,1)$ (bounded funciones continuas en $(0,1)$ $\sup$ norma).

Deje $x(t) = \sin \frac{1}{t}$, podemos ver que $x \in C(0,1)$. Deje $p$ ser un polinomio. Claramente $p$ es continua en a $[0,1]$, por lo tanto $p_0 = \lim_{t \downarrow 0} p(t)$ existe. Una pequeña cantidad de trabajo se muestra que las $\|x-p\| \ge 1$.

El conjunto de polinomios en $(0,1)$ separa puntos y es una subalgebra de $C(0,1)$, pero claramente no es denso en $C(0,1)$.

En cierto sentido, el problema es que una función continua puede tener bastante salvaje comportamiento si el subyacente espacio no es compacto.

Answer 2

Tome$A$ el álgebra de funciones continuas con soporte compacto. Forma un álgebra que satisface las condiciones del teorema de Stone-Weierstass. Su cierre para la norma uniforme es el conjunto de funciones continuas que se desvanecen en el infinito.