Aritmética de Peano tiene un número infinito de axiomas debido a su esquema de inducción; Asimismo $\sf ZFC$ tiene un número infinito de axiomas debido a su esquema del axioma del reemplazo. $\sf NBG$ sin embargo admite una axiomatización finita debido a su ontología de clases. ¿La maquinaria de esta clase se puede aprovechar para implementar una axiomatización finita de $\sf PA$ en lógica de primer orden, o el esquema de inducción requiere más, como lógica de orden superior?
Respuestas
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Sí. Hay una teoría de segundo orden aritmética conocida como $\mathsf{ACA}_0$ que es PA como NBG es ZFC. $\mathsf{ACA}_0$ es un finitely axiomatizable de la teoría de la lógica de primer orden. Tiene dos tipos de objetos: los números naturales y los conjuntos de números naturales (tanto como NBG ha conjuntos y clases de conjuntos).
Y se trata de un conservador de extensión: las frases en el idioma original de la aritmética de Peano que se comprobable en $\mathsf{ACA}_0$ son todos demostrable en PA, así como las oraciones en el lenguaje de la teoría de conjuntos que son comprobable en NBG son todo demostrable en ZFC.
Por otra parte, las pruebas de conservativity son muy similares. En cada caso se extiende un modelo del único ordenado de la teoría (PA, ZFC) a un modelo de los dos clasificados de la teoría de ($\mathsf{ACA}_0$, NBG) por la adición de los nuevos objetos (conjuntos de números, clases de conjuntos) que son definibles sobre el modelo original.
Mauro ALLEGRANZA
Puntos
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Ver Herbert Enderton, Elementos de la Teoría de conjuntos (1977), página 70 : POSTULADOS DE PEANO para una prueba de los axiomas de Peano en $\mathsf {ZFC}$.
En el primer orden de los idiomas, las variables individuales de alcance sobre los "objetos" del dominio de la interpretación.
En primer orden $\mathsf {PA}$ "objetos" son números; por lo tanto, necesitamos el axioma esquema de inducción debido a que en esta teoría no es posible cuantificar sobre los conjuntos de números naturales.
En el conjunto de La teoría de los "objetos" son conjuntos, es decir, las variables individuales rango sobre los conjuntos; por lo tanto el principio de inducción es "naturalmente" expresable y es comprobable de $\mathsf {ZFC}$'s axiomas.
