Resolver el ecuación diofántica del $p^2+n-3=6^n+n^6$

Question

<blockquote> <p>Cuáles son los pares ($p,n$) de números enteros no negativos donde $p$ es un número primo, que $$p^2+n-3=6^n+n^6$ $</p> </blockquote> <p>¿Cómo puedo resolver esta ecuación de diophantine?</p>

Answer 1

Asumir $p\neq 3$. Entonces $p^2\equiv 1\pmod 3$.

• Si $3\mid n$, $n\neq 0$, entonces el $1\equiv 0\pmod {3}$, imposible.
• Si $n=0$, entonces el $(p,n)=(2,0)$ es una solución.
• Si $3\nmid n$ y $n^6\equiv 1\pmod {3}$ y así $1+(1\text{ or }2)\equiv 1\pmod {3}$, imposible.

Si $p=3$, entonces LHS ($n+6$) es menor que % RHS ($6^n+n^6$) $\forall n\ge 2$y $n=0$ no es igual, pero igual cuando $n=1$. Así $(p,n)=(3,1)$ es otra solución.

Answer 2

Si $n \equiv 0,1\pmod3$, tenemos divide a $3$ $6^n+n^6 - n+3$, excepto $n=0$. Además, $n=1$, tenemos $6^n+n^6 - n+3 = 9 = 3^2$. Por lo tanto, $n \equiv 2\pmod3$. Sin embargo, si $n \equiv 2 \pmod3$, tenemos $$6^n+n^6 - n+3 \equiv 2\pmod3$$ and no square is $2 # \pmod 3$. Hence, the solutions are $(n,p) = (0,2)$ and $(n,p) = (1,3) $.